1. Wykaż, że dla kat ostrego α tożsamością jest równość:
a) (sinα / 1+cosα ) - (1-cosα / sinα )= 0
b) 1 / tgα+ctgα = sinαcosα
c) sin²α / 1 - cosα = 1+cosα

2. Wiedząc, że α jest katem ostrym, oblicz wartość wyrażenia:
a) ctgα - cosα / ctgα , gdy sinα = 1/5
b) (1/ cosα) - cosα, gdy tgα = pierwiastek z 2
c) cos^4α / sin²α , gdy ctg²α = 5

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2010-03-13T14:13:46+01:00
Zadanie 1
a) (sinα / 1+cosα ) - (1-cosα / sinα )= 0

L = sinα/(1 + cosα) - (1 - cosα)/sinα = [sin²α - (1 + cosα)(1 - cosα)]/sinα(1 + cosα) = [sin²α - 1 + cos²α]/sinα(1 + cosα) = 0/sinα(1 + cosα) = 0 = P

b) 1 / tgα+ctgα = sinαcosα

L = 1/(tgα + ctgα) = 1/(sinα/cosα + cosα/sinα) = 1/[(sin²α + cos²α)/cosα*sinα) = sinα*cosα/(sin²α + cos²α) = sinα*cosα = P

c) sin²α / 1 - cosα = 1+cosα

L = sin²α/(1 - cosα) = (1 - cos²α)/(1 - cosα) = (1 + cosα)(1 - cosα)/(1 - cosα) = 1 + cosα = P

zadanie 2
a) ctgα - cosα / ctgα , gdy sinα = 1/5

Dwa przypadki bo nie jestem pewna o który Ci chodziło (niejednoznaczny zapis):
(ctgα - cosα)/ctgα = 1 - cosα/(cosα/sinα) = 1 - sinα = 4/5

sin²α + cos²α = 1
cos²α = 1 - sin²α = 24/25
cosα = 2√6/5 (bo α ostry)

ctgα - cosα/ctgα = cosα/sinα - cosα(cosα/sinα) = cosα/sinα - sinα = 2√6/25 - 1/5 = (2√6 - 5)/25

b) (1/ cosα) - cosα, gdy tgα = pierwiastek z 2

sin²α + cos²α = 1
tgα = sinα/cosα
cos²α + tgα*cos²α = 1
cos²α = 1/(1 + tg²α) = 1/3
cosα = 1/√3 (bo α ostry)

(1/ cosα) - cosα = √3 - 1/√3 = 2/√3 = 2√3/3

c) cos⁴α / sin²α , gdy ctg²α = 5

sin²α + cos²α = 1
ctgα = cosα/sinα
sin²α + ctgα*sin²α = 1
sin²α = 1/(1 + ctg²α) = 1/6
cos²α = 1 - sin²α = 5/6

cos⁴α / sin²α = cos²α * ctg²α = 25/6
jak masz pytania to pisz na pw
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