1)w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość 6 cm, a kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę 60°. oblicz objętość tego ostrosłupa.

2)podstawą ostrosłupa jest prostokąt, którego pole ma 54 cm₂, a stosunek długości boków wynosi 2:3. krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z płąszczyzna podstwy kąt o mierze 60°. oblicz objętość tego ostrosłupa.

3)w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. oblicz objętość tego ostrosłupa, jeśli pole powierzchni bocznej wynosi 108 cm².

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-14T16:50:59+01:00
Ad.1
wysokość ostrosłupa pada na podstawę i dzieli wysokość podstawy w stosunku 2/3 i 1/3.
wysokość podstawy (dla trójk. równob) = 1/2 * bok * pierwiastek z trzech = 3 pierwiaski z trzech
więc 2/3 tej wysokości to 2 pierwiastki z trzech
tg alfa = wysokość ostrosłupa(ozn. H)/ 2/3 * wysokość podstawy
tg 60 = H/2pierwiastki z 3
pierwiastek z trzech = H/2 pierwiastki z trzech
H=6
Pole podstawy ostrosłupa = 1/4(a do kwadratu * pierwiastek z trzech) = 1/4 * (6kwadrat*pierwiastek z trzech) = 9 pierwiastków z trzech
Objętość ostrosłupa = 1/3 * pole podsawy 8 wysokość ostrosupa = 1/3 * 9pierwiastków z trzech * 6 = 18 pierwiastków z trzech

Ad 2)
jeden bok podstawy x = 2a
drug bok y = 3a
Pole podstawy = x*y = 2a*3a=6ado kwadratu = 54
a do kwadratu = 9
więc a = 3
jeden bok x = 2a = 2*3 = 6
drugi bok y = 3*a = 3*3 = 9
Przekątna podstawy = pierwiastek z (x do kwadratu + y do kwadratu) = pierwiastek z (6 do kwadratu + 9 do kwadratu) = pierwiastek z (36 + 81) = pierwiastek ze 117 = 3 pierwiastki z 13
połowa tej przekąnej tworzy z wysokością ostrosłupa kąt prosty
polowa przekątnej = 1,5 pierwiastka z 13 = ok. 5,41
tg alfa = H ostrosłupa/połowa przekątnej
pierwiastek z trzech = H/5,41
1,73 = H/5,41
9,36 = H

Objętość: V = 1/3 * Pole podstawy

(prostokąta) * H = 1/3 * x * y * H = 1/3 * 6 * 9 * 9,36 = 18*9,36 = 168,47

Ad. 3
pole bocznej powierzchni = 3 * 1/2 * a * 2a = 3a do kwadratu = 108
a do kwadratu = 36
a = 6
bok podstawy = a = 6
wysokość podstawy = 1/2 * a * pierwiastek z 3 = 1/2 * 6 * pierwiastek z 3 = 3 pierwiastki z 3
wysokość ostrosłupa H dzieli wysokość podstawy w stosunku 1/3 i 2/3. Otrzymujemy trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątnymi są 1/3 wysokości podstawy = pierwiastek z 3 i wysokość ostrosłupa H, zaś przeciwprostoątną jest wysokość ściany bocznej równa 2a czyli 2*6 = 12
Mamy zatem
H do kwadratu + (pierwiastek z trzech) do kwadratu = 12 do kwadratu
H do kwadratu + 3 = 144
H do kwadratu = 141
H=ok. 11,87

Pole podstawy ostrosłupa = (a do kwadratu * pierwiastek z trzech)/4 = 36*pierwiastek z trzech / 4 = 9 pierwiastków z trzech
Objętość ostrosłupa = 1/3 * pole podstawy * H = 1/3 * 9pierwiastków z trzech * 11,87 = 61,70
4 3 4