Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
  • Roma
  • Community Manager
2010-03-15T13:19:13+01:00
Okrąg: x² - 6x + y² - 2y + 2 = 0
prosta: x + 3y + 2 = 0
Okrąg i prosta przecinają się w punktach A i B, czyli współrzędne tych punktów spełniają jednocześnie równanie okręgu i prostej

{ x + 3y + 2 = 0
{ x² - 6x + y² - 2y + 2 = 0

{ x = - 3y - 2
{ x² - 6x + y² - 2y + 2 = 0

{ x = - 3y - 2
{ (- 3y - 2)² - 6( - 3y - 2) + y² - 2y + 2 = 0

Rozwiążemy drugie równanie z tego układu:
(- 3y - 2)² - 6( - 3y - 2) + y² - 2y + 2 = 0
9y² + 12y + 4 + 18y + 12 + y² - 2y + 2 = 0
10y² + 28y + 18 = 0 /:2
5y² + 14y + 9 = 0
Δ = 196 - 180 = 16
√Δ = √16 = 4
y₁ = -14 - 4 /10 = - 18/10 = - ⁹/₅ = - 1⅘
y₂ = - 14 + 4 / 10 = - 10/10 = - 1
otrzymujemy dwa rozwiązania:
{ x₁ = -3y₁ - 2
{ y₁ = -1⅘

{ x₁ = -3*(- ⁹/₅) - 2 = ²⁷/₅ - ¹⁰/₅ = ¹⁷/₅ = 3⅖
{ y₁ = -1⅘

{ x₁ = 3⅖
{ y₁ = -1⅘
i
{ x₂ = -3y₂ - 2
{ y₂ = -1

{ x₂ = -3*(- 1) - 2 = 3 - 2 = 1
{ y₂ = -1⅘

{ x₂ = 1
{ y₂ = -1

Punkty przecięcia okręgu i prostej to:
A = (3⅖; -1⅘) i B = (1; - 1)

Wyznaczamy długość cięciwy AB tego okręgu.
|AB| = √(1- 3⅖)² + (-1 + 1⅘)² = √(- 2⅖)² + (⅘)² = √(- ¹²/₅)² + (⅘)² = √¹⁴⁴/₂₅ + ¹⁶/₂₅ = √¹⁶⁰/₂₅ = ⅘√10
5 5 5