1.) Trzy liczby, których suma jest równa 168, tworza ciag geometryczny.Liczby te są jednoczesnie pierwszym, piatym i dwudziestym pierwszym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.
2.)Dane są liczby rzeczywiste a,b takie, że a<b. Wykaż że średnia arytmetyczna tych liczb jest wieksza od a .
3.)Długośc krawędzi sześcianu zwiększono o 10%. Oblicz o ile %zwiększyła się objętośc tego sześcianu.

3

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
  • Użytkownik Zadane
2010-03-15T19:08:56+01:00
1.Musisz ułożyć sobie układ równań :
Niech a1, a2,...,an − ciąg arytmetyczny czyli :
ak = a1 + (k−1)*r dla każdego k∊N+ i dla stałego r.

Niech b1, b2, ... , bn − ciąg geometryczny
bk = b1*qk−1 dla każdego k∊N+ i dla stałego q.

Wiemy, że a1 = b1

Układ równań wygląda zatem tak :
b1 + b2 + b3 = 168
a1 + a5 + a21 = 168
b2 = a5

co po przekształceniu da nam coś takiego :
a1 + a1*q + a1*q2 = 168
a1 + a1 + 4*r + a1 + 20*r = 168
a1*q = a1 + 4*r

Masz więc :
a1(q2 + q + 1)= 168
3*a1 + 24*r = 168
a1*q = a1+4*r

Zatem:
a1(q2 + q + 1)= 168
a1 + 8*r = 56
a1*q = a1 + 4*r

Stąd:
a1(q2 + q + 1)= 168
a1 + 8*r = 56
(a1*q−a1)/4 = r;

Więc:
a1(q2 + q + 1)= 168
a1 + 2*(a1*q−a1) = 56
(a1*q−a1)/4 = r;

Dalej:
a1(q2 + q + 1)= 168
2*a1*q −a1 = 56
(a1*q−a1)/4 = r;

i się bawisz do końca.
3 równania z 3ema niewiadomymi.
Coś tam powinno wyjść.

2.
Średnia arytmetyczna tych liczb to (a+b)/2, mamy wykazać że
(a+b)/2 < b
Mnożę obustronnie przez 2 i mam
a+b<2b
Przenoszę b z lewej strony na prawą ze zmianą znaku i mam że
a<2b-b
a<b
Wychodzi założenie, że a<b Więc jest to prawda :)


2010-03-15T19:10:52+01:00
Zad2
założenie a<b
hipoteza: (a+b)/2 >a
(a+b)/2 >a /*2
a+b>2a
b>a co jest zgodne z założeniem więc hipoteza jest prawdziwa
zad3
jeśli krawędź ma dlugość a to objętość V=a^3 (^ tzn do potęgi)
Jeśli powiekszymy długość krawędzi o 10% to będzie ona miała dlugość 1,1*a
Podstawiam to do wzoru na objętość
V=(1,1a)^3
V=1,331a^3
więc objętość wzrosła o 0,331~33%
  • Użytkownik Zadane
2010-03-15T19:31:46+01:00
1. a,b,c = 56 lub a=8 , b=32, c=128

a=a₁
b=a₁+4r
c=a₁+20r


układ równań:

(a+b+c=168) 3a₁+24r=168
(b²=ac) -12a₁r+16r²=0

a₁=56-8r

i dalej prościutkie obliczenia.
Wychodzą dwa rozwiazania jak wyżej.

2.
(a+b)/2 > a /*2
a+b > 2a
-a+b > 0
b > a co należało dowieść


3.

a+10%a = 1,1a
V=a³
V₂= (1,1a)³ = 1,331a³

a³ ---- 100%
1,331a³ ---- x%

x= 133,1%

133,1% - 100% = 33,1%