Witam, na wczoraj potrzebuję rozwiązania kilku, konkretniej 4, zadań z przedmiotu jakim jest matematyka na rozszerzeniu z tematów dotyczących Okręgów i Prostych oraz Równań prostych. Zadania załączone w pliku JPG - interesuje mnie ROZWIĄZANIA TEJ WERSJI ŁATWIEJSZEJ. Bardzo, bardzo proszę o pomoc :) najpóźniej na rano. Pozdrawiam!

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-17T03:49:26+01:00
1.
Okrąg A doprowadzam do postaci kanonicznej:
(x - 3)² -9 + (y - 0)² +5 ≤ 0
(x - 3)² + (y - 0)² ≤ 2²
a więc jest to okrąg wraz z wnętrzem (czyli kolo) o środku (3, 0) i promieniu 2.
Zbiór B to koło o środku (2, -3) i promieniu 3
Rysunki w załączniku.

2.
a)
S(-2, 3), A(1, -1)∈O
(x +2)² + (y -3)² = r²
(1 + 2)² + (-1 -3)² = r²
r² = 25
Czyli równanie:
(x +2)² + (y -3)² = 25

b)
A(-5, -2), B(3, 8), AB= średnica okręgu, więc środek ma współrzędne:
S((-5+3)/2, (-2 + 8)/2) = S(-1, 3)
r = |AB|/2 = √[(3+5)²+(8+2)²]/2 = √164/2
r² = 164/4 = 41
Więc równanie:
(x + 1)² + (y - 3)² = 41

3.
a)
x² + y² - 4x - 2y + 1 = 0
x + y - 1 = 0 => y = -x + 1
Podstawiam y z drugiego do pierwszego:
x² + (-x + 1)² - 4x -2(-x + 1) + 1 = 0
x² + x² -2x + 1 - 4x + 2x - 2 + 1 = 0
2x² -4x = 0
2x(x - 2) = 0
x₁ = 0, x₂ = 2
y₁ = 1, y₂ = -2 + 1 = -1
Prosta l ma 2 punkty wspólne z okręgiem o:
A(0, 1), B(2, -1)

b)
Prosta równoległa do prostej l ma wzór:
y = -x + b
Po podstawieniu wyliczamy Δ z równania kwadratowego. Aby prosta była styczna, czyli miała 1 punkt wspólny z okręgiem, musi być jedno rozwiązanie równania, czyli Δ=0.
x² + (-x + b)² - 4x -2(-x + b) + 1 = 0
2x² -2bx + b² -4x + 2x - 2b + 1 = 0
2x² -2(b + 1)x + b² - 2b + 1 = 0
Δ = 4(b + 1)² - 4*2(b² -2b + 1) = 4(b² + 2b + 1 - 2b² + 4b - 2) = 4(-b² + 6b -1)
Δ = 0 <=> b² - 6b + 1 = 0
Δ' = 36 - 4 = 32 = 16*2
√Δ' = 4√2
b₁ = 3 - 2√2
b₂ = 3 + 2√2
Równania stycznych:
y = -x + 3 - 2√2
y = -x + 3 + 2√2

4.
o1: (x+1)² - 1 + (y - 2)² - 4 + 4 = 0
o1: (x + 1)² + (y - 2)² = 1
o2: (x + 1)² + (y - 8)² = 25
o1 jest okręgiem o środku (-1, 2) i promieniu 1
o2 jest okręgiem o środku (-1, 8) i promieniu 5
Najwyższy punkt okręgu 1 to (-1, 3), a najniższy okręgu 2 to także (-1, 3) - dobrze jest zrobić rysunek. A więc okręgi są styczne zewnętrznie w punkcie
(-1, 3). Można do tego dojść rozwiązując układ równań odejmując od o2 o1:
(y - 8)² - (y - 2)² = 24
y² - 16y + 64 - y² + 4y - 4 = 24
-12y = -36
y = 3, po podstawieniu do o1: (x + 1)² + (3 - 2)² = 1, więc (x + 1)² = 0, czyli x = -1. To samo uzyskamy z o2.

Zadanie III b łatwo rozwiążesz, jeśli zrozumiałeś zadanie 3b.
Pozdrawiam.