POMOCY !!!!A) W kole o promieniu r kąt środkowy o mierze alfa wyznacza wycinek koła o polu 2 pi oraz łuk o długosci pi. Oblicz długość promienia r i miarę kąta alfa.
B) Wewnątrz trójkąta równobocznego o boku długości "a" wybrano dowolny punkt "P". Oblicz sumę odległosci punktu "P" od boków tego trójąta. Wykonaj rysunek pomocniczy.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-17T20:39:40+01:00
Dane:
Pw = 2π {pole wycinka koła o kącie α i promieniu r}
Ł = π {długość łuku wycinka koła o kącie α i promieniu r}
∢α = ?
r = ?
{korzystamy z wzorów na pole wycinka koła i długość łuku}
1) Pw = (α/360⁰)*πr²
(α/360⁰)*πr² = 2π, stąd (α/360⁰)*r² = 2
2) Ł = (α/360⁰)*2πr
(α/360⁰)*2πr = π, stąd (α/360⁰)*2r = 1
rozwiązujemy układ równań:
(α/360⁰)*r² = 2
{
(α/360⁰)*2r = 1/:(2r)

α/360⁰ = 1/(2r)
{
[¹/(2r)]*r² = 2

α/360⁰ = 1/(2r)
{
½r = 2 /*2

α/360⁰ = 1/(2r)
{
r = 4

α/360⁰ = ¹/₈ /*360⁰
{
r = 4

α = ¹/₈*360⁰
{
r = 4

α = 45⁰
{
r = 4

Odp. Długość promienia r jest równa 4, a kąt wycinka 45⁰.

Zad.2
Trzeba narysować dowolny punkt P wewnątrz trójkąta równobocznego o boku a i połączyć go z wierzchołkami tego trójkąta (powstaną trzy trójkąty o bokach a i wysokościach
x, y, z , które są odległościami punktu P od boków trójkąta równobocznego).
Potem liczymy pola trzech małych trójkątów:
P₁ = ½ax
P₂ = ½ay
P₃ = ½az
Pole trójkąta równobocznego to wzór:
P = (a²√3)/4
Mamy zatem:
P = P₁ + P₂ + P₃
(a²√3)/4 = ½ax + ½ay + ½az /*2
(a²√3)/2 = ax + ay + az /:a
(a√3)/2 = x + y + z
x + y + z = ½*a√3 {jest to wzór na wysokość trójkąta równobocznego}
Odp. Suma odległości punktu P od boków trójkąta równobocznego o boku a jest równa wysokości tego trójkąta czyli ½*a√3.


1 2 1