Drut o długości 10 m podzielono na dwie części z jednej zrobiono ramkę prostokątną, w której stosunek długości boków wynosi 2:3, z drugiej okrąg. Jak należy podzielić drut , aby suma pól prostokąta i koła była taka najmniejsza?

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-18T12:37:09+01:00
I)
stosunek długości boków prostokąta wynosi 2:3
szerokość prostokąta 2x
długość prostokąta 3x
ramka prostokąta ma obwód 2*2x+ 2*3x= 4x+ 6x = 10x
II)
obwód okręgu 2πr
Wiemy, że długość drutu wynosi 10m, więc
10x + 2πr = 10 /:2
5x + πr = 5
5x = 5 - πr /:5
x = 1 - ⅕πr, gdzie promień 0 < r < 5/π
III)
Obliczamy pole prostokąta i koła:
Pp= 2x*3x = 6x²
Pk = πr²
Suma pól P {za x wstawiamy 1 - ⅕πr}:
P= Pp+ Pk = 6x²+ πr²= 6*(1 - ⅕πr)²+ πr²=
6*(1 - ⅖πr + ¹/₂₅π²r²) + πr² = 6 - ¹²/₅πr + ⁶/₂₅π²r² + πr²=
r²(⁶/₂₅π²+ π) -¹²/₅πr + 6
Badamy minimum sumy pól P w zależności od r (promienia koła):
P(r) = r²(⁶/₂₅π²+ π) -¹²/₅πr + 6
wierzchołek paraboli ma odciętą:
r = -(-¹²/₅π)/2*[(⁶/₂₅π²+ π)]
r = (¹²/₅π)/[2π(⁶/₂₅π+ 1)]
r = (⁶/₅)/(⁶/₂₅π+ 1)
r = 6/[5*(⁶/₂₅π+ 1]
r = 6/(⁶/₅π+ 5)
r = 30/(6π+ 25)
obwód okręgu 2πr = 2π*30/(6π+ 25) = 60π/(6π+ 25) metrów
obwód prostokąta 10 - [60π/(6π+ 25)]= 250/(6π+ 25) metrów
spr.
60π/(6π+ 25) + 250/(6π+ 25) = (60π+ 250)/(6π+ 25)=
10*[(6π+ 25)/(6π+ 25)]= 10
Odp.Drut długości 10m należy podzielić na dwie części:
60π/(6π+ 25) metrów i 250/(6π+ 25) metrów, aby suma pól
prostokąta i okręgu była najmniejsza.
1 5 1