Odpowiedzi

  • Użytkownik Zadane
2010-03-18T20:42:50+01:00
A.) W okręgach wpisanych w trójkąt i opisanych na trójkącie zachodzi własność:
R=⅔h
r=⅓h
gdzie "R" to promień okręgu opisanego, natomiast "r" to promień okręgu wpisanego. Obliczmy ich pola

Pole dużego okręgu:
P₁=πR²=π*(⅔h)²=⁴/₉h²π

Pole małego okręgu:
P₂=πr²=π*(⅓h)²=¹/₉h²π

choć nie znamy wartości h to nas ona nie interesuje tak jak nie interesuje nas pole. Nas interesuje ile razy większe pole ma okrąg opisany, a więc stosunek pola dużego okręgu do pola małego okręgu:
P₁/P₂ = (⁴/₉h²π)/(¹/₉h²π) = (⁴/₉)/(¹/₉) = ⁴/₉ * ⁹/₁ = ⁴/₁ = 4

h²π się skróciło
Odp: Pole okręgu opisanego na trójkącie jest 4 razy większe od pola okręgu wpisanego w trójkąt



b.) R = 2/3h = a√3:3- promień koła opisanego na trójkacie równobocznym
r = 1/3h = a√3 : 6 - promień koła wpisanego w trójkąt równoboczny
a - bok trójkata równobocznego
h = - wysokość trójkąta równobocznego
P op. - pole koła opisanego na trójkacie równobocznym
P wp. - pole koła wpisanego w trójkąt równoboczny
O op. = obwód koła opisanego na trójkącie równobocznym
O wp. = obwód koła wpisanego wtrójkąt równoboczny

Pop : P wp = ?
O op : O wp = ?
79 3 79
2010-03-18T20:49:17+01:00
Zad 1
Promień koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równy 2/3 wysokości tego trójkąta.

zatem

R=2/3 * a√3/2 = a√3/3

Pole koła o takim promieniu jest równe 3a²/9

Promień koła wpisanego w trójkąt jest równe 1/3 jego wysokości
zatem

r=1/3 * a√3/2= a√3/6
Pole tego koła to
3a²/36

P1/p2=4 Odp. Pole koła opisanego jest 4 krotnie większe


Zad 2

Z wcześniejszego zadania R=a√3/3
Długoś okręgu to ze wzoru 2πr=2/3 aπ

natomiast obwód trójkąta jest równy 3a

Obw1/obw2= 2√3a/3 / 3a=2/9π
Odp. Długość okręgu jest 2/9π dłuższa
53 3 53
2010-03-18T21:20:12+01:00