Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-20T11:22:51+01:00
Zadania z pierwszego załącznika:
z.16
f(x) = x² +4x + 3
a =1 > 0 - ramiona paraboli skierowane ku górze - funkcja osiąga
swoją wartość najmniejszą dla x = -b/2a = -4/2 = -2
Δ = 4² -4*1*3 = 16 - 12 = 4 > 0 - funkcja ma dwa miejsca zerowe.
Oś symetrii x = -2
Odp. D
z.17
Zbiór wartości funkcji f
f(x) = [x -5]/ I x - 5 I
Df = R \ {5} - nie wolno dzielić przez 0,a 5 - 5 = 0
dla x < 5 mamy I x - 5 I = -(x -5) = - x + 5
zatem wtedy f(x) = (x-5)/(-x +5) = (x -5) /[ -(x- 5)[ = -1
dla x > 5 mamy I x - 5 I = x -5 zatem
f(x) = (x-5) / (x -5) = 1
Wniosek: funkcja f przyjmuje w swojej dziedzinie tylko dwie
wartości : -1 oraz 1
Odp.C
z.18
Do wykresu funkcji y = 4^x należy punkt a = (a ; 1/2)
wynika stąd , że a = - 1/2 , bo f(a) = 1/2
1/2 = 4^a --> a = -1/2 ponieważ 4^(-1/2) = 1 / (4 ^(1/2)) =
= 1/√4 = 1/2
Odp. C
z.19
Do wykresu funkcji f danej wzorem f(x) = ax + b należą punkty A = (0; 3) , B =(-3; -3)
mamy więc
f(0) = 3 czyli 3 = a*0 + b --> b = 3
oraz f(-3) = -3 czyli -3 = a*(-3) + 3 --> -3 a = -3 -3 = -6
a = -6 : (-3) = 2
Odp. A) a = 2 i b = 3
z.20
Zbiorem wartości funkcji f(x) = 2^x jest : (0 ; +∞) tak jak każdej
funkcji wykładniczej f( x) = a^x
Odp.B
zadania otwarte
z.1
f(x) = 3x² +4x +1
a = 3 > 0 , Δ = b² - 4ac =4² -4*3*1 = 16 - 12 = 4
√Δ = 2
x1 = [-4 - 4]/6 = -8/2 = - 4
x2 = [-4 + 4]/6 = 0/6 = 0
Wykresem f jest parabola o ramionach skierowanych ku
górze bo a = 3 > 0 zatem przyjmuje wartości ujemne dla
x należących do przedziału (x1 ; x2)
czyli f(x) < 0 dla x ∈ (-4 ; 0 )
Odp.x ∈ ( -4 ; 0 )
z.3
Wyznacz dziedzinę funkcji f:
f(x) = √ (1 - x/3)
Pierwiastek z liczby nieujemnej, czyli
1 - (1/3)x ≥ 0 --->- (1/3) x ≥ -1 ---> x ≤ - 1*(-3 ) = 3
Df = ( -∞ ; 3 >
z.4
f(x) =(3m -1) x - 7
Wyznacz parametr m, tak aby miejscem zerowym funkcji była
liczba x = -3
Ma być f(-3) = 0
zatem
(3m -1)*(-3) - 7 = 0 ---> -9m+3 - 7 = 0 ---> -9m = 4
m = 4 : (-9) = -4/9
spr. dla m = -4/9 mamy
f(x) = (3*(-4/9) - 1 ) x - 7 = (-4/3 -3/3) x - 7 = (-7/3) x - 7
wtedy f(-3) = (-7/3)*(-3) - 7 = 7 - 7 = 0 czyli faktycznie
x = -3 jest miejscem zerowym tej funkcji.
z.5
Zapisz wzór funkcji f(x) = I 5x - 10 I + 3 bez symbolu wartości
bezwzględnej.
5x - 10 = 0 <=> x = 2
zatem dla x∈ (-∞ ; 2) mamy I 5x - 10 I = -(5x - 10) = -5x +10
oraz dla x∈ <2; +∞) mamy I 5x - 10 I = 5x - 10
czyli
f(x) = -5x + 10 +3 = -5x +13 dla x ∈ ( -∞; 2)
oraz f(x) = 5x - 10 +3 = 5x - 7 dla x ∈ < 2: +∞)
z.6
Wyznacz dziedzinę funkcji f , gdy f(x) = 1 /(x² - 7x)
Mianownik musi być różny od 0.
x² - 7x = x*(x - 7) = 0 <=> x = 0 lub x = 7 zatem
Df = R \ {0, 7} , bo dla x = 0 lub x = 7 mianownik (x² 7x) = 0.
z.7
Z wykresu odczytaj:
a) maksymalne przedziały, w których funkcja jest malejąca :
(-4; 0) u (5 ; 7)
b) maksymalne przedziały,w których funkcja przyjmuje wartości
nieujemne ( czyli dodatnie oraz 0 )
funkcja przyjmuje wartości nieujemne w przedziałach:
<-6; -2> u < 4 ; 7)
u - oznacza sumę przedziałów.
z.8
Wyznacz dziedzinę funkcji f
f(x) = √(x² -6x +9)
Pod znakiem pierwiastka musi być liczba nieujemna, zatem
x² -6x + 9 ≥ 0
Δ = (-6)² - 4*1*9 = 36 - 36 = 0
x₀ = 6/2 = 3
Ponieważ a = 1 > 0 zatem ramiona paraboli skierowane są ku górze , a najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla x = x₀
oraz f ( x₀) = 0 czyli x² -6x + 9 ≥ 0 dla dowolnego x ∈ R
zatem Df = R ( R - zbiór liczb rzeczywistych).
z.9
Wyznacz miejsca zerowe funkcji
f(x) = x³ -2x² - 3x + 6
mamy
x³ - 2 x² - 3 x + 6 = x ( x² -3) -2(x² - 3) = (x- 2)( x² - 3 ) =
= (x -2)(x- √3)(x + √3) = 0 <=> x = 2 lub x = √3 lub x = - √3)
Odp. Miejsca zerowe tej funkcji to liczby: - √3, √3, 2.
Korzystałem z wzoru a² - b² = ( a - b)( a + b) , gdzie
a² = x² oraz b² = (√3)² .
z.11
Wyznacz wzór funkcji liniowej , której wykres jest równoległy
do wykresu funkcji f(x) = 4x - 5 i przechodzi przez punkt
A = (-2; 1)
Funkcja y = 4x + b1 ma wykres równoległy do wykresu podanej
prostej
A = (-2; 1) , zatem 1 = 4*(-2) + b1 ---> b1 = 1 + 8 = 9
Odp. y = 4 x + 9
z.12
Wyznacz współczynnik c funkcji kwadratowej y = x² +6x + c²
jeśli wiadomo, ze ma ona jedno miejsce zerowe.
Δ = 6² - 4*1*c² = 36 - 4 c²
Funkcja ma jedno ( podwójne ) miejsce zerowe jeśli Δ = 0
zatem 36 - 4 c² = 0 ---> 4 c² = 36 --> c² = 36 : 4 = 9
więc c = √9 = 3.
Odp.c = 3
z.14
Wyznacz wzór funkcji wykładniczej, której wykres przechodzi
przez punkt ( -2 ; 1/9)
Mamy y = a^x czyli 1/9 = a^(-2) = 1/ a² ---> a = 3
Odp. a = 3 czyli y = 3^x
( 3 do potęgi o wykładniku x)
z.15
Wyznacz wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu funkcji f(x) = - 2 x + 4 i przechodzi przez
punkt A = (6 ; -2)
-2* a1 = -1 ---> a1 = 1/2
Prosta o równaniu y = (1/2) x + b1 jest prostopadła do prostej
o podanym wyżej równaniu
A = ( 6 ; -2) zatem -2 = (1/2)*6 + b1 --> b1 = -2 -3 = -5
Odp. y = (1/2) x - 5
-----------------------------------------------------------------------
Proste o równaniach y = a x + b oraz y = a1 x + b1 są
prostopadłe jeśli a*a1 = -1
-----------------------------------------------------------------------
Pozostałe zadania w załącznikach.







5 5 5