Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-21T12:01:58+01:00
Ciąg geometryczny o wyrazie ogólnym an= a₁*q^(n-1)
{symbol ^ znaczy q do potęgi n-1}
I)
pierwszy wyraz ciągu geometrycznego x= a₁
drugi y= a₁q
trzeci z= a₁q²
(a₁q)² = a₁*a₁q² {drugi wyraz do kwadratu = pierwszy wyraz* drugi}
y² = x*z
II)
a₁+ a₁q+ a₁q² = x+ y+ z = ¹³/₂
III)
(a₁)²+ (a₁q)²+ (a₁q²)² = x²+ y²+ z² = ⁹¹/₄
Z I), II) i III) mamy układ równań, wyznaczamy x, y, z:
y² = xz
{
x+ y+ z = ¹³/₂
{
x²+ y²+ z² = ⁹¹/₄

y² = xz
{
x+ z = ¹³/₂ - y
{
x²+ xz + z² = ⁹¹/₄

y² = xz
{
x+ z = ¹³/₂ - y
{
(x+ z)²- xz = ⁹¹/₄

y² = xz
{
x+ z = ¹³/₂ - y
{
(¹³/₂ - y)²- y² = ⁹¹/₄
{ do trzeciego równania wstawiamy za (x+z ) z równania drugiego(¹³/₂- y) i za xz z równania pierwszego y²}
Rozwiązujemy trzecie równanie:
(¹³/₂ - y)²- y² = ⁹¹/₄ {korzystamy z wzoru skróconego mnożenia}
¹⁶⁹/₄ - 13y + y² - y² = ⁹¹/₄
-13y = ⁻⁷⁸/₄
y = ³/₂
teraz obliczamy x+ z = ¹³/₂ - y = ¹³/₂ - ³/₂ = 5
i y² = xz = (³/₂)² = ⁹/₄
Mamy zatem układ równań:
y = ³/₂
{
x+ z = 5
{
xz = ⁹/₄
teraz z drugiego równania wyznaczamy z= 5-x i wstawiamy
do równania trzeciego:
xz = x*(5-x) = ⁹/₄, stąd -x²+ 5x -⁹/₄ = 0
{obliczamy deltę i potem pierwiastki x₁ i x₂:
delta = 25- 4*(-1)*(-⁹/₄) = 25-9 = 16, x₁= (-5-4)/-2 = ⁹/₂,
x₂= (-5+4)/-2 = ¹/₂, następnie z₁= 5 - ⁹/₂= ¹/₂ i z₂= 5- ¹/₂= ⁹/₂}
Mamy dwie możliwości ciągu geometrycznego:
I)
x= ¹/₂
y= ³/₂
z= ⁹/₂
czyli a₁ = ¹/₂, a₂= ³/₂, a₃= ⁹/₂ {a₁ = ¹/₂, q= 3}
Odp.Ciąg geometryczny an= ¹/₂*3^(n-1)
{jedna druga * trzy do potęgi (n-1)}
II)
x= ⁹/₂
y= ³/₂
z= ¹/₂
czyli a₁ = ⁹/₂, a₂= ³/₂, a₃= ¹/₂ {a₁ = ⁹/₂, q= ¹/₃}
Odp. Ciąg geometryczny an= ⁹/₂*(¹/₃)^(n-1)
{dziewięć drugich * jedna trzecia do potęgi (n-1)}




6 3 6