Zad 1
Na trapezie opisano okrąg o promieniu długości 25cm. Dłuższa podstawa trapezu jest średnicą tego okręgu. Wiedząc, że przekątna trapezu ma długość 40cm, oblicz obwód tego trapezu.
Zad 2
Na trapezie o podstawach długości 16cm i 8cm oraz wysokości 8cm opisano okrąg; jego środek leży wewnątrz trapezu. Oblicz odległości środka okręgu od wszystkich boków tego trapezu.
Zad 3
Długości trzech kolejnych boków czworokąta opisanego na okręgu mają się do siebie jak 1:2:3. Obwód tego czworokąta wynosi 48cm. Oblicz długości jego boków.
Zad 4
W romb wpisano okrąg. Punkt styczności okręgu z bokiem dzieli bok na odcinki długości 4cm i 9cm. Oblicz długości przekątnych i wysokość rombu.
Zad 5
Na okręgu opisano trapez równoramienny. Kąt rozwarty trapezu ma miarę 150 stopni a odcinek łączący środki ramion ma 12 cm długości. Oblicz długość promienia okręgu.
Zad 6
Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość 8 cm. Wiedząc, że w ten trapez można wpisać okrąg, oblicz obwód trapezu.

Dam Naj osobie która zrobi poprawanie wszystkie te zadania.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
  • Użytkownik Zadane
2010-03-21T11:43:37+01:00
Zad1.
Ponieważ podstawa jest średnicą okręgu, trójkąt ABD jest prostokątny, skąd
AD²= √ AB²- DB²= √ 50²-40²= 10 √ 5²-4²= 10 √9

policzmy teraz wysokość DE trójkąta ABD (w więc również wysokość trapezu). Porównujemy dwa wzory na pole (inny sposób to wykorzystać podobieństwo trójkątów AED i ADB ).


1/2 AB* DE= 1/2 AD * DB
50 * DE= 30*40-----> De =40

Jeżeli oznaczymy CD = a to z trójkąta prostokątnego AED mamy
AE²+ED²=AD²
(25- 0,5 a)²+24²=30²
25-0,5 a=18
0,5a= 7-----> a =14

obwód trapezu jest równy
AB+2BC+a=50+60+14=124


zad3.

Niech a,b,c,d oznaczają długości kolejnych boków (ważne twierdzenie!) czworokąta.
Skoro czworokąt jest opisany na okręgu to zachodzi równość sum długości przeciwległych boków.
a+c=b+d

a=x
b=2x
c=3x
Podstawiamy do (1) i otrzymujemy że
x+3x=2x+d
d=2x
Ob=48=a+b+c+d=8x

x=6

a=x =6
b=2x=6*2=12
c=3x=6*3=18
to d= 48-(6+12+18)=48-36=12

zad4.

Przekątne rombu przecinają się w połowie tworząc trójkąty prostokątne.
x - połowa przekątnej
y - połowa drugiej przekątnej

Z tw Pitagorasa
x² + y² = 13²
x² + y² = 169

Środek okręgu leży w punkcie przecięcia się przekątnych, natomiast promienie poprowadzone do punktów styczności są do odpowiednich boków prostopadłe. Narysuj jeden taki promień. Znowu powstaną trójkąty prostokątne.

x² = 4² + r²
y² = 9² + r²

Wstawiamy do pierwszego równania:

16 + r² + 81 + r² = 169
2r² = 72
r² = 36
r = 6

Wstawiamy do poprzednich równań, aby policzyć przekątne.
x² = 16 + 36
x² = 52
x = 2√13
2x = 4√13 (cała przekątna)

y² = 81 + 36
y² = 117
y = √117
2y = 2√117 (cała przekątna)

Wysokość rombu jest równa dwom promieniom, zatem
h=12

Sprawdzenie. Wystarczy porównać pola.
P = ah = 13*12 = 156
P = 0,5ef = 0,5 * 2√117 * 4√13 = 4√1521 = 4*39 = 156

zad5.

a + b = c + d

0,5(a + b) = 12

a + b = 24

c + d = 24 - jest równoramienny dlatego :

c = 12 , d = 12

szukam trójkąta prostokątnego
kąt ostry trapezu wynosi 30 stopni
sin 30 stopni=1/2
1/2= a/12
a=6 - wysokość trapezu =średnica

promień równa się 3 cm

zad6.

a+c=b+d z twierdzenia o czworokącie opisanym na kole

f=½(b+d)- z twierdzenia o środku łączącym środki ramion w trapezie

8=½(b+d) /*2
b+d=16
a+c=b+d stąd:
a+c=16
Obw= a+c+b+d=16+16=32

zad2.
Jezeli x, 8-x są odległościami środka okręgu od podstaw,
to z jest dległością od ramienia (długości 4√5 )
i R promieniem okręgu opisanego, to zachodzą (z tw. Pitagorasa) równania:

4²+x²=R²=8²+(8-x)²
z²=R²-(2√5)²

Odp; 7,1 , 3√5,3√5
28 3 28