W trzech wierzchołkach kwadratu o boku a umieszczono ładunki elektryczne, każdy o wartości bezwzględnej q. Dwa z nich są ujemne, a trzeci dodatni,przy czym ład.jednoimienne nie znajdują się w sąsiednich wierzchołkach.
a) Oblicz wartość natężenia pola elektrycznego w czwartym (pustym) wierzchołku kwadratu
b) oblicz potencjał pola w czwartym wierzchołku kwadratu
c) Oblicz pracę wykonaną przez siłę pola elektrostatycznego podczas przenoszenia ładunku dodatniego o wartości 2q umieszczonego w 4 wierzchołku kwadratu, do jego środka.

1

Odpowiedzi

2009-04-21T00:27:56+02:00
Czwarty pusty wierzchołek oddalony jest od każdego ujemnego ładunku o długość boku kwadratu a i od dodatkiego ładunku o długość przekątnej kwadratu czyli a√2. Ale ponieważ natężenie pola jest wektorem to musimy zsumować trze wielkości wektorowo. Najlepiej pokazać to (niestety) na rysunku.
Natężenie pochodzące od wierzchołka z ujemnym ładunkiem :
E1=1/4πe*q/a²
teraz z dodatnim E2=1/4πe*q/(a√2)²
z znów ujemnym:
E3=1/4πe*q/a²
Ponieważ E1 i E3 są do siebie prostopadłe to długość wektora wypadkowego policzymy z tw Pitagorasa: E13=√(E1²+E2²)
E13=√(1/4πe*q/a²)²+(1/4πe*q/a²)²=(1/4πe*q/a²)√2
a ponieważ kierunki wektorów E13 , E2 sa przeciwne (bo ładunki były dodatnie i ujemne) to wektor wypadkowy=
E=E13-E2=(1/4πe*q/a²)√2-1/4πe*q/(a√2)²=1/4πe*q/(a)²[√2-1/2]

b) potencjal jest skalarem (nie wektorem) więc łatwiej się go sumuje. Trzeba tylko zwrócic uwagę na znak ładunku (dodatni lub ujemny) i na odległość ( a lub a√2):
Φ=1/4πε [ q/a-q/a√2+q/a]=1/4πε*q/a [1-1/√2+1]=1/4πε*q/a *[4-√2]/2

c) Praca = iloczynowi ładunku 2q i róznicy potencjałow pomiędzy 4-tym wierzchołkiem a środkiem kwadratu
Potencjał w 4-tym wierzchołku już policzyliśmy w pkt b) to teraz policzmy w środku kwadratu, odległości ładunków o środka sa identyczne i wynoszą połowę długości przekątnej kwadratu czyli a√2/2
Φsr=1/4πε [ q/a√2/2-q/a√2/2+q/a√2/2]=1/4πε*q/a [2/√2-2/√2+2/√2]=1/4πε*q/a [√2]
W=2q(Φ-Φsr)=2q(1/4πε*q/a *[4-√2]/2-1/4πε*q/a [√2])=
=1/2πε*q²/a [2-√2/2-√2]=1/2πε*q²/a[2-3√2/2]
4 2 4