Odpowiedzi

2010-03-23T09:07:17+01:00
Ciąg arytmetyczny {wyraz ogólny an= a₁+ (n-1)*r}:
pierwsza liczba a₁
druga liczba a₁+ r
trzecia liczba a₁+ 2r
suma 21= a₁+ a₁+ r+ a₁+ 2r= 3a₁+ 3r
3a₁+ 3r= 21/:3, stąd a₁+ r= 7
ciąg geometryczny
pierwszy wyraz a₁- 1
drugi wyraz a₁+ r- 4
trzeci wyraz a₁+ 2r- 3
wyznaczmy ilorazy (są one równe, bo mamy ciąg geometryczny):
drugi wyraz/pierwszy wyraz = (a₁+ r- 4)/(a₁- 1)
trzeci wyraz/drugi wyraz = (a₁+ 2r- 3)/(a₁+ r- 4)
(a₁+ r- 4)/(a₁- 1) = (a₁+ 2r- 3)/(a₁+ r- 4) {za wyrażenie a₁+ r wstawiamy wartość 7}
(7- 4)/(a₁- 1) = (7+ r- 3)/(7- 4)
3/(a₁- 1) = (4+ r)/3 {przekształcamy proporcję}
(4+ r)*(a₁- 1)= 3*3
4a₁- 4+ ra₁- r = 9
4a₁+ ra₁- r = 9+ 4
4a₁+ ra₁- r = 13
Mamy zatem układ równań:
a₁+ r= 7
{
4a₁+ ra₁- r = 13

r= 7- a₁
{
4a₁+ (7- a₁)a₁- (7- a₁)= 13

r= 7- a₁
{
4a₁+ 7a₁- a₁²- 7+ a₁= 13

r= 7- a₁
{
12a₁- a₁²- 20 = 0/*(-1)

r= 7- a₁
{
a₁²- 12a₁+ 20 = 0/*(-1)
Rozwiązujemy drugie równanie:
a₁²- 12a₁+ 20 = 0
Δ= (-12)² - 4*1*20 = 144- 80 = 64
a₁= (12- 8)/2 = 4/2= 2
lub a₁= (12+ 8)/2 = 20/2= 10
Teraz wyznaczamy r:
r = 7- 2= 5 lub r= 7- 10 = -3
Mamy:
I możliwość
ciąg arytmetyczny 2, 2+ 5= 7, 2+ 2*5= 12
ciąg geometryczny 2- 1= 1, 7- 4= 3, 12- 3 = 9
Liczby: 2, 7, 12
II możliwość
ciąg arytmetyczny 10, 10- 3= 7, 10- 2*3= 10- 6 = 4
ciąg geometryczny 10-1 = 9, 7- 4= 3, 4- 3 = 1
Liczby: 10, 7, 4
Odp. Te liczby to: 2, 7, 12 lub 10, 7, 4.