Odpowiedzi

2010-03-25T21:14:44+01:00
Krawędź podstawy o długości a cm
krawędź podstawy o długości b cm
wysokość o długości c cm jest średnią geometryczną liczb a i b,
czyli c= √(ab)
I) Pole powierzchni P= 112cm² obliczamy ze wzoru:
P= 2ab+ 2ac+ 2bc= 112
II) Objętość V= 64cm³ obliczamy ze wzoru:
V= abc= ab*√(ab) {za c wstawiamy √(ab)}
ab√(ab)= 64
√[(a²b²)*(ab)]= 64 {włączamy iloczyn ab pod pierwiastek}
√(a³b³) = 64 {korzystamy z mnożenia potęg o tej samej podstawie}
a³b³ = 64² {korzystamy z definicji pierwiastka √a= b, a≥0, a= b²}
(ab)³ = 64², stąd
ab= ∛(64²) = ∛(64*64)= ∛64*∛64 = 4*4= 16
ab= 16
stąd c= √(ab) = √16 = 4
Z wzoru na pole powierzchni prostopadłościanu
mamy 2ab+ 2ac+ 2bc = 112 {wstawiamy za ab= 16, c= 4}
2*16+ 2a*4+ 2b*4 = 112
32+ 8a+ 8b= 112
8a+ 8b= 112- 32
8a+ 8b = 80
czyli a+ b = 10, stąd b= 10- a
ab = 16
a*(10- a) = 16 {wstawiamy b= 10- a}
10a - a² = 16
-a²+ 10a- 16= 0 {rozwiązujemy równanie kwadratowe}
Δ= 10²- 4*(-1)*(-16) = 100 - 64 = 36
√Δ= 6
a₁= ⁻¹⁰⁻⁶/₋₂ = 8, więc b= 10- 8 = 2
a₂= ⁻¹⁰⁺⁶/₋₂ = 2, więc b= 10- 2= 8
Krawędzie podstawy mają długość 2cm i 8cm, a wysokość 4cm
Odp. Wymiary prostopadłościanu 2cm, 8cm, 4cm.