Odpowiedzi

2010-03-25T22:03:44+01:00

Na powyższym rysunku przedstawiony jest prosty oscylator harmoniczny. Jest nim klocek o masie m przyczepiony do sprężyny o stałej sprężystości k. Pierwsza sprężyna jest rozciągnięta, druga jest w stanie równowagi, a trzecia jest ściśnięta. W każdym z trzech przypadków przedstawiona jest siła F, z jaką sprężyna działa na masę m. Zakładamy, że klocek ślizga się po doskonale gładkim poziomym stole.
Zwróć uwagę, że istnieje położenie (położenie równowagi), w którym sprężyna nie działa żadną siłą na ciało. Jeżeli ciało jest przesunięte w prawo, to sprężyna oddziałuje na ciało siłą skierowaną w lewo, wynoszącą F = -kx. Jeżeli ciało jest przesunięte w lewo, to siła działa na prawo i wynosi także F = -kx. W tym przypadku jest to siła przywracająca równowagę układowi. Ruch drgającego klocka jest ruchem harmonicznym prostym. Ruch harmoniczny prosty charakteryzuje się również tym, że granice wychyleń są jednakowe po obu stronach położenia równowagi (u nas jest to wartość x).
2010-03-25T22:10:44+01:00

Położenie równowagi-to położenie ciała, w którym wypadkowa sił działających na to ciało jest równa zero.
Wychylenie X- z położenia równowagi w chwili t jest współrzędna ciała drgającego.
Amplitudą A-nazywamy maksymalne wychylenie z położenia równowagi.
Okres T-to czas potrzebny do wykonania przez ciało drgające jednego pełnego cyklu(drgania).
Częstotliwość [/tex]\nu[/tex] (f)-jest równa odwrotności okresu :
\nu=\frac{1}{T}
i oznajmia ile wynosi liczba drgań w jednostce czasu.
RUCH HARMONICZNY-jest przykładem ruchu drgającego.
Wychylenie opisuje funkcja:
x=Asin(\omega t+ \phi_{0})
\omega=\frac{2 \pi}{T}-częstość kołowa drgań (prędkość kątowa)
Argument
(\omega t+ \phi_{0})
funkcji x(t) oznacza fazę drgań, a
\phi_{0}
fazę początkową określającą położenie (wychylenie) x(t) w chwili początkowej t=0.
Prędkość w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem:
V_{x}(t)=A \omega cos(\omega t+ \phi_{0})
Natomiast przyspieszenie :
a_{x}(t)=-A \omega^{2}sin(\omega t+ \phi_{0})
Cechy ruchu harmonicznego:
-to ruch powtarzający się -okresowy,
-prędkość ciała ulega zmianie, zmienia się jej wartość i zwrot,
-w położeniach maksymalnego wychylenia szybkość ciała drgającego jest równa zeru,
-podczas przechodzenia przez położenie równowagi ciało ma maksymalną szybkość,
-ciało zbliża się do położenia równowagi ruchem przyspieszonym ,a oddala od niego ruchem opóźnionym.
Ruch drgający jest ruchem niejednostajnie zmiennym.
Siła w ruchu drgającym.
Zgodnie z II-ą zasadą dynamiki siła powodująca ruch harmoniczny ciała o masie m wyraża się wzorem:
\vec{f}=m*\vec{a}
zatem
F(t)=-ma \omega^{2}sin(\omega t+ \phi_{0})
lub
F(t)=-m \omega^{2} x
Oscylator harmoniczny-to ciało o masie m i punktowych rozmiarach (punkt materialny) wykonujące ruch harmoniczny pod działającej siły sprężystej:
F=-kx
Okres drgań oscylatora harmonicznego można wyprowadzić ze wzoru na siłę:
F=-m \omega^{2}x \\ F=-kx \\ -m \omega^{2} x=-kx \\ m \frac{4 \pi^{2}}{T^{2}}=k
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
k-współczynnik sprężystości;
m-masa ciała.
Częstotliwość własna oscylatora harmonicznego:
\nu=\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{m}{k}}
Energia w ruchu drgającym
Energia całkowita w ruchu drgającym składa się z energii potencjalnej i energii kinetycznej i jest stała w czasie:
E_{c}=E_{p}+E_{k}=\frac{1}{2}kA^{2}
Podczas ruch drgającego zachodzi ciągła przemiana energii potencjalnej w kinetyczną i odwrotnie.
Energia kinetyczna ciała wykonującego ruch harmoniczny jest opisana funkcją:
E_{k}(t)=\frac{1}{2}m \omega^{2} A^{2}cos^{2}(\omega t+ \phi_{0})
lub
E_{k}(t)=\frac{1}{2}k(a^{2}-x^{2}).
Energia potencjalna ciaławykonującego ruch harmoniczny jest opisana funkcją:
E_{p}(t)=\frac{1}{2}m \omega^{2} A^{2}sin^{2}(\omega t+ \phi_{0})
lub
E_{p}(t)=\frac{1}{2}kx^{2}.
Wahadłem matematycznym nazywamy ciało o masie m i o niezmiernie małej objętości (punkt materialny), zawieszone na nieważkiej i nierozciągliwej nici o długości l.Okres drgań takiego wahadło jest równy:
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
,gdzie
g-przyspieszenie ziemskie.
Powyższy wzór jest słuszny tylko dla małych kątów wychylenia.
Ważną cechą wahadła matematycznego jest izochronizm, czyli niezależność okresu drgań oscylatora harmonicznego od amplitudy drgań dla małych kątów.
Wahadło matematyczne w układach nieinercjalnych wyraża się wzorem:
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g \pm a_{ukl}}}
a_{ukl}-wartość przyspieszenia układu.
Znak plus jest gdy zwrotu wektorów są przeciwne ,a minus gdy zgodne.
Drganiami wymuszonymi nazywamy drgania ciała wywołane przez siłę zewnętrzną okresowo zmieniającą się z czasem.
Rezonans występuje gdy częstotliwość siły wymuszającej i częstotliwość drgań własnych oscylatora harmonicznego są równe (lub bardzo zbliżone), wtedy amplituda drgań tego oscylatora osiąga wartość maksymalną.
Odkształcenie ciała następuje pod wpływem działających na nie sił.Ciało jest sprężyste [/u[ jeżeli po ustaniu działania siły ciało wraca do pierwotnego kształtu. Jeżeli nie to ciało jest [u]plastyczne.
PRAWO HOOKE'A:
(odkształcenia sprężyste)
przyrost długości \Delta l pręta jest wprost proporcjonalny do wartości F działającej siły i początkowej długości l_{o} pręta, a odwrotnie proporcjonalny do pola S jego przekroju poprzecznego.
\Delta l=\frac{F*l_{0}}{S}
E-moduł Younga- zależy od rodzaju materiału ,z któego wykonano pręt.
Jeżeli \frac{F}{S} jest miarą naprężenia (p) wewnętrznego, którego przyczyną jest wydłużenie pręta spowodowane działaniem na pręt siły zewnętrznej, to prawo Hooke'a zapisujemy w postaci:
p=E\frac{l_{0}}{\Delta l}
Granicą wytrzymałości materiału na rozerwanie to maksymalne naprężenie wewnętrzne (\frac{F}{S}) ,po przekroczeniu którego następuje zerwanie.
Granica sprężystości to wartość (\frac{F}{S}), po przekroczeniu którego następuje odkształcenie trwałe. Prawo Hooke'a stosuje się tylko w przypadkach gdy \frac{F}{S} jest mniejszy od granicy sprężystości.[/center][/b]