Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-26T10:01:24+01:00
Mamy równanie 2x² +(m-1)x -m² = 0
{sprawdzamy deltę
Δ= (m-1)²-4*2*(-m²)= m²- 2m+ 1+ 8m²= 9m²- 2m+ 1
Δ= 9m²-2m+1> 0, bo Δ₁= (-2)²- 4*9*1= 4- 36= -32< 0,
czyli równanie ma dwa różne pierwiastki x₁ i x₂}
1, x₁+ x₂, ¹/x₁ + ¹/x₂ ciąg geometryczny, gdzie x₁ i x₂ są pierwiastkami równania 2x²+ (m-1)x - m² = 0
współczynniki równania a= 2, b= m-1, c= -m²
z wzorów Viete'a mamy:
x₁+ x₂ = -b/a = [-(m- 1)]/₂
x₁*x₂ = c/a= (-m²)/₂
¹/x₁ + ¹/x₂= (x₁+ x₂)/(x₁*x₂) = [-(m- 1)]/₂ / (-m²)/₂= [-(m- 1)]/-m²)
¹/x₁ + ¹/x₂ = (m-1)/m²
Z własności ciągu geometrycznego mamy zależność:
(x₁+ x₂)/1 = (¹/x₁ + ¹/x₂)/(x₁+ x₂) {z własności proporcji}
(x₁+ x₂)² = ¹/x₁ + ¹/x₂ {za ¹/x₁ + ¹/x₂ wstawiamy (x₁+ x₂)/(x₁*x₂)}
(x₁+ x₂)² = (x₁+ x₂)/(x₁x₂)
{obie strony dzielimy przez x₁+ x₂, gdzie x₁≠ x₂ }
x₁+ x₂ = 1/(x₁x₂){obie strony mnożymy przez x₁x₂}
(x₁+ x₂)*x₁x₂ = 1
{wstawiamy za x₁+ x₂=[-(m- 1)]/₂, a za x₁x₂= (-m²)/₂}
[-(m- 1)]/₂*(-m²)/₂ = 1
m²(m-1)/₄ = 1/*4
m²(m-1) = 4
m³- m²- 4 = 0
m= 2, 2³- 2²- 4 = 0
czyli (m-2)(m²+ m+ 2) = 0
{ dzielenie wielomianów
(m³- m²- 4):(m-2) = m²+ m+ 2
-m³+ 2m²
-----------
m²-4
-m²+ 2m
--------
2m-4
-2m+4
------}
(m-2)(m²+ m+ 2) = 0
m- 2 = 0 lub m²+ m+ 2= 0
m= 2, bo m²+ m+ 2> 0, bo delta 1²-4*1*2<0
Odp. m= 2 mamy równanie 2x² + x - 4 = 0 i ciąg geometryczny
1, x₁+ x₂ = -½, ¹/x₁ + ¹/x₂= ¼

Spr.
Dla m= 2
mamy 2x² + x - 4 = 0
Δ= 1-4*2*(-4) = 33
i wiemy, że Δ= 9m²-2m+1= 9*4- 2*2+ 1= 33 > 0
pierwiastki:
x₁= -1-√33/4 i x₂= -1+√33/4
x₁+ x₂ = (-1-√33/4) + (-1+√33/4)= -2/4 = -½
¹/x₁ + ¹/x₂ = 1/(-1-√33/4) + 1/(-1+√33/4) =
[4/(-1-√33)]+ [4/(-1+√33)]=
{4*(-1+√33) + 4*(-1-√33)}/{(-1+√33)*(-1-√33)}=
{-4 +4 √33 -4 -4√33)}/{1 - 33}= (-8)/(-32)= ¼
ciąg geometryczny
1, x₁+ x₂, ¹/x₁ + ¹/x₂
1, -(m- 1)/₂, (m-1)/m²
1, -½, ¼
2 3 2