W wyniku obrotu trójkąta równoramiennego o bokach długości 6,6,6√3 wokół wysokości h poprowadzonej do najdłuższego boku, otrzymano stożek. Oblicz:
A) objętość stożka
B) miarę kąta alfa nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

3

Odpowiedzi

2010-03-26T18:11:38+01:00
Ramię c=6
podstawa a=6√3
½a=3√3
h trójkąta=√6²-(3√3)²=√36-27=√9=3

wymiary stożka:
r=3√3
l=6
h=3

pole podstawy=πr²=π×(3√3)²=27π
v=⅓×27π×3=27πj.³=objętość
b]
α=kąt nachylenia
ctgα=3√3:3=√3
α=30⁰
2010-03-26T18:16:31+01:00
Najpierw sobie wszystko wyobraźmy (rys.1)
Obliczamy wysokość stożka zgodnie z tw. Pitagorasa.
h*h+3√3*3√3=6*6
Wychodzi, że h=3.
Obliczamy pole podstawy stożka, czyli pole koła.
Promień koła jest równy połowie najdłuższego boku, czyli 3√3.
Pk=πr*r
Pk=27π
Mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia objętości.
V=1/3*h*Pk
V=1/3*3*27π
V=27π
Aby obliczyć miarę kąta alfa należy zastosować odpowiednią tożsamość trygonometryczną w trójkącie prostokątnym.
Wyobraźmy sobie kąt alfa (rys.2)
Alfę można wyliczyć np. z sinusa tego kąta.
W trójkącie prostokątnym sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do przeciwprostokątnej.
sin alfa = h/6
sin alfa = 3/6
sin alfa = 1/2
Wartość 1/2 przyjmuje sinus dla kąta 30 stopni.
2010-03-26T18:30:51+01:00
A) v= 1/3 pi * r do pot. drugiej
v= 1/3 pi * 3pierwiastki z 3 do kwadratu
v= 1/3 pi * 27
v= 9pi.

b) mamy dwa równania tworzące układ równań. piszę odstęami "enter" między kończącymi się układami równań:
alfa - kąt nachylenia tworzącej stożka do płaszczyzny podstawy
beta - kąt rozwarcia stożka ( na rysunku między tworzącymi. ;) )

1/3beta + alfa + 90 stopni = 180 stopni
2alfa+beta= 180 stopni. / -2alfa

1/3 beta + a+90stopni=180stopni
beta= 180 stopni - 2alfa

60 - 2/3alfa + alfa + 90 stopni=180stopni b - beta
beta= 180 stopni - 2alfa a - alfa

60 stopni + 1/3a+90stopni=180stopni / -170 stopni
b=180-2a

1/3a =10 stopni / *3
b= 180 stopni - 2a

a= 30 stopni
b = 180 stopni - 2*30stopni

a=30 stopni
b= 120 stopni.
1 1 1