W trójkącie prostokątnym stosunek przyprostokątnych jest równy |AC|:|AB|=5:12. Punkt D dzieli przeciwprostokątną BC na odcinki, których długości pozostają w stosunku |CD|:|DB|=5:8. Wiedząc, że punkt E należy do przyprostokątnej AB i ED jest prostopadłe do CB, oblicz stosunek pola czworokąta AEDC do pola trójkąta EBD.

1

Odpowiedzi

2010-04-01T10:58:50+02:00
Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość c :

8²+ 4²= c²
64 + 16 = c²
c²= 80
c=∫80
c=(16 * 5)

c=4pierw5

punkt D dzieli bok AB w stosunku 1:3
policze ile dokładnie mają te dwa odcinki
1 + 3 = 4
8 : 4 = 2
|AD|=1 * 2=2 cm
|DB|=3 * 2 = 6cm
zaznaczyłam te długości już na rysunku

trójkąty ABC i EDB są podobne (wynika to z cechy podobieństwa trójkątów kąt kąt - oba trójkąty zawierają kąty alfa i 90 stopni)

między kątem alfa i 90 w trojkącie ABC mamy 8cm a w trójkącie EBD mamy y
między kątem alfa i pustym w trójkącie ABC mamy 4pierw5 a w trójkącie EBD mamy 6 cm

są to trójkąty podobne zatem mogę zapisać :

8/y = 5∫4 /6
mnożę na krzyż
8 * 6 = 5∫4 * y
48 = 5∫4 y /:4
12=∫5 y /* ∫5
12pierw5 = 5y /:5
y=12pierw5/5

|EB| = 12pierw5/5

zatem |CE|=4pierw5 - 12pierw5/5 = 20pierw5/5 - 12peirw5/5=
=8pierw5/5

|CE|:|EB| = 8pierw5/5 : 12pierw5/5 = 8pierw5/5 * 5/(12pierw5)=
=8/12=4/6=2/3=2 : 3
5 1 5