Odpowiedzi

2010-04-01T00:20:14+02:00
Postaram się to w prosty sposób opisać:
1.Narysuj trapez równoramienny ABCD (kolejność wierzchołków jest odwrotna do ruchu wskazówek zegara począwszy od lewego, dolnego wierzchołka)
2.Przekątna AC jest dwusieczną kąta DAB,więc jego połowa wynosi α.
3.Kąt ACD jest kątem naprzemianległym do α,więc jest tej samej miary.
4.Trójkąt ACD będzie więc równoramienny,czyli DC=AD=a
5.Stwierdzamy,że również BC=a
6.Korzystając z tw. sinusów w trójkącie ABC,udowadniamy,że
kąt α=30⁰
a:sinα=2a:sin(180-3α)
a×sin3α=2a×sinα /:a
sin3α=2sinα
sin(α+2α)=2sinα
sinαcos2α+sin2αcosα=2sinα
sinαcos2α+2sinαcosαcosα=2sinα /:sinα bo α≠0
cos2α+2cos²α=2
2cos²α-1+2cos²α=2
4cos²α=3 /:4
cos²α=3:4
cosα=√3:2 bo 0<α<90⁰
α=30⁰
c.n.d.
7.Trójkąt ABC jest więc prostokątny (30⁰,60⁰,90⁰).
Bok AC ma długość a√3-z własności boków takiego trójkąta (bok przy kącie 30⁰ i 90⁰ ma długość a√3)
8.Korzystamy z porównania wzorów na pole trójkąta ABC:
½AB×AC×sinα=½(AB+BC+AC)×r
½×2a×a√3×½=½×(2a+a+a√3)r
a²√3=(3a+a√3)r
r=a²√3:a(3+√3)=a√3:(3+√3)
po usunięciu niewymierności z mianownika mamy ostateczną postać: r=a(√3-1):2
15 3 15