W ołowianej kuli wydrążono wnękę, taką że styka się z zewnętrzną warstwą kuli i przechodzi przez jej środek. Masa kulki po wydrążeniu wynosiła M. Jaką siłą zgodnie z prawem powszechnego ciążenia kulka ta będzie przyciągać małą kulkę o masie m, umieszczoną w odległoście d od środka kuli, leżącje na prostej łączącej środki kul i wydrążenia.
Wynik doprowadź do najprostszej postci wykorzystując wszelki metody algebraiczne.

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-03-31T15:23:35+02:00
Przyśpieszenie grawitacyjne w środku kuli wynosi 0, ponieważ siły pochodzące od próbek mas leżących dookoła środka wzajemnie się znoszą, co wynika z symetrii kuli oraz wzoru na siłę F ~ m/d², gdzie d=odległość od środka masy kuli, tylda ~ oznacza proporcjonalność.
Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni kuli wyraża się wzorem:
g₀ = GM/R², M=masa kuli, R=promień kuli
Przyśpieszenie ziemskie wewnątrz kuli w odległości d od środka kuli można wyrazić wzorem:
g(d) = GM(d) / d²
Jeśli przyjąć kulę jako jednorodną (a jest, bo chodzi o kulę ołowianą), tzn. o stałej gęstości ρ, to
ρ = M(d)/V(d)= M/V = M/(4/3πR³), więc
M(d) = MV(d)/V= M*4/3 πρd³/[4/3 πρR³] = Md³/R³
g = [GMd³/R³]/d² = GM/R³ * d = G*M/R² * 1/R * d = g₀/R * d
Tak więc przyspieszenie wewnątrz kuli jest zależnością liniową odległości d:
g = kd, gdzie k=GM/R³=g₀/R
Siła działająca na masę punktową m zgodnie z 2 zasadą dynamiki w punkcie d odległym od środka wynosi:
F = mg = GmMd/R³

Promień kuli R nie jest znany wprost, ale wiedząc, że kula jest ołowiana i zakładając, że wydrążenie jest małe w stosunku do całej objętości kuli, możemy wyliczyć:
M = ρV ≈ 4/3 πR³ρ, skąd:
M/R³ = 4/3 πρ, co po podstawieniu do wzoru da wynik:
F = 4/3 πGρmd
ρ = 11340 kg/m³ = gęstość ołowiu
π = 3,1415...
G ≈ 6,67 * 10⁻¹¹ m³/(kg*s²) = stała grawitacji

Odp.
F = 4/3 πGρmd