Trapez ABCD ma wysokość równą 10, a bok AB jest jego dłuższą podstawą. Oblicz pole trapezu, jeśli:
kąt DAB = 30stopni, kąt ABC = 75stopni, kąt ACB = 90stopni.

odp: 300
wskazówka : ctg 75stopni = 2 - pierwiastek z 3

proszę o możliwie jak najdokładniejsze rozwiązanie!

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2009-11-02T08:51:43+01:00
Trapez ABCD ma wysokość równą 10, a bok AB jest jego dłuższą podstawą. Oblicz pole trapezu, jeśli:
kąt DAB = 30stopni, kąt ABC = 75stopni, kąt ACB = 90stopni.
CE = DF = h = 10
AB - dłuższa podstawa
CD - krótsza podstawa
BC - bok
AD - bok
ctg 75° = 2-√3
sin 75° = (√6 +√2) : 4
cos 75° = (√6 - √2) : 4
ctg 30° = √3

P = ?

P =[( AB + CD ):2 ]* h

1. Obliczam EB z trójkąta prostokatnego EBC, gzie EB- przyprostokątna, CE =h =10 to druga przyprostokątna oraz BC- przeciwprostokątna, kąt ABC = 75°
EB/CE = ctg 75°
EB = CE *ctg 75°
EB = h *(2-√3)
EB = 10*(2-√3)
EB = 20 -10√3

2. Obliczam AF z trójkąta prostokątnego AFD, gdzie :
AF-przyprostokątna przy kącie 30°,
DF = h =10 - druga przyprostokątna,
AD- przeciwprostokątna, DAB = 30°

AF/ DF = ctg 30°
AF = DF* ctg 30°
AF = h *√3
AF = 10√3

3. Obliczam bok BC z trójkąta prostokątnego EBC, gdzie :
EB - przyprostokątna przy kącie EBC =75°,
CE = h =10 - druga przyprostokątna
BC - przeciwprostokątna

CE/BC = sin 75°
h: BC = (√6 +√2) : 4
BC*(√6 +√2) = 10*4
BC = 40:(√6 +√2)
BC = 40:(√6 +√2)*(√6 - √2): (√6 -√2) ( usuwam niewymierność z mianownika)
BC= 40*(√6 -√2) : 4
BC = 10 (√6 -√2)

4. Obliczam AB z trójkąta prostokątnego ABC, gdzie :
BC- przyprostokątna leżąca przy kącie ABC = 75°
AC- druga przyprostokątna
AB - przeciwprostokątna
BC/AB = cos 75°
BC: AB = (√6 - √2) : 4
AB*(√6 - √2) = 4*BC
AB = (4*BC) :(√6 - √2)
AB = (4*10)*( √6 - √2):(√6 - √2)
redukuję (√6 - √2)
AB = 40

5. Obliczam krótszą podstawę CD z zależności:
AB = CD + AF + EB
CD = AB - (AF + EB)
CD = 40 - ( 10√3 + 20 -10√3 )
CD = 40 - 20
CD = 20

6. Obliczam pole trapezu P
P = [( AB + CD ):2 ]* h
P = [(40 + 20) :2 ]*10
P = ( 60:2 )*10
P = 30*10
P = 300