zad. 2
W stozku w wysokosci 4cm tworzaca jest nachylona do plaszczy
zny podstawy pod kastem 30 stopni > Stozek przecieto plaszczyzna rownolegla do podstawy stozka przechodzaca przez srodek wysokosci . Oblicz stosunek objetosci czesci mniejszej do wiekszej .

1

Odpowiedzi

Najlepsza Odpowiedź!
2010-04-04T20:05:05+02:00
Dany jest stożek w wysokości h= 4cm,
jego tworząca l jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem α= 30⁰.
Obliczamy promień podstawy r z proporcji trygonometrycznej
{trójkąt prostokątny o przyprostokątnych h i r oraz
przeciwprostokątnej l }
tgα= h/r, stąd r= h/tgα= 4cm/tg30⁰ = 4cm/(√³/₃)= ¹²/√₃ cm
po usunięciu niewymierności z mianownika otrzymujemy
r= ¹²√³/₃ cm = 4√3 cm
Teraz obliczamy objętość stożka:
V= ⅓πr²*h = ⅓π*(4√3 cm)²* 4cm= ⅓π*48cm²* 4cm = 64cm³
Obliczamy promień podstawy mniejszego stożka, w którym
wysokość h₁= ½* 4cm= 2cm {korzystamy z podobieństwa trójkątów}:
r₁= ½r = ½*4√3 cm= 2√3 cm
Teraz obliczamy objętość mniejszego stożka po przecięciu
dużego stożka płaszczyzną równoległą:
V₁= ⅓πr₁²*h₁= ⅓π*(2√3 cm)²*2cm= ⅓π*12cm²* 2cm = 8cm³
Następnie obliczamy objętość części większej po przecięciu
stożka płaszczyzną równoległą {jest to stożek ścięty}:
V₂= V- V₁= 64cm³- 8cm³= 56cm³
Obliczamy stosunek objętości części mniejszej do większej:
V₁: V₂ = 8cm³ : 56cm³
V₁: V₂ = 1 : 7 = ¹/₇
Odp. Stosunek objętości części mniejszej do większej przeciętego stożka wynosi 1:7 = ¹/₇.
3 2 3