PILNE PILNE PILNE PILNE PILNE PILNE PILNE

1. Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 3cm. Oblicz długość wysokości tego czworościanu.

2. Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym pole powierzchni bocznej wynosi 252cm², a wysokość ściany bocznej ma długość 7cm.

3. Piramida Cheopsa, zwana też Wielką Piramidą, kształtem przypomina ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pierwotnie miała wysokość 146m, a długość boków podstawy wynosiła 230m. Obecnie te wymiary są mniejsze: Wysokość ma 137m, a bok podstawy ma 237m. Oblicz o ile litrów zmniejszyła się objętość piramidy.

4. Breloczek cały wykonany ze srebra ma kształt czworościanu o krawędzi 3cm. Złotnik przetopił go na breloczek w kształcie sześcianu. Jakie są wymiary tego breloczka? Przyjmij √2= 1,4.

5. Mama uszyła powierzchnię boczną namiotu w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o polu powierzchni 48m². Wysokość każdej ściany bocznej wynosi 4m. Aby namiot ustawić, potrzebne są cztery tyczki. Znajdź długość każdej z nich. (Rys. to ostrosłup bez podstawy)

Z góry dzięki. Pilne.

2

Odpowiedzi

2010-04-07T16:04:28+02:00
1) załączam rysunek, aby ułatwic tłumaczenie :)
H=DF - wysokość czworościanu
h=DE - wysokość jednego trójkata równobocznego
AB=BC=CA= 3 cm = a

h=(a√3)/2
h=(3√3cm)/2

aby wyznaczyć wszystkie boki trójkąta FED należy olbiczyć napoczątku FE, a jest to 1/3h tójkąta równobocznego
czyli:
FE=1/3h
FE=1/3*(3√3cm)/2
FE=√3/2cm
nazwę odcinek FE - x
Twierdzenie Pitagorasa:
h^2=H^2+x^2
H^2=h^2-x^2
H^2=6,75 - 0,75
H^2=6
H=√6cm
Odp. Wysokośc w tym czworościanie foremnym wyniesie √6cm.

albo skrócona wersja zadania, z pomocą wzoru :)
h=(a√6)/3
h=(3√6)/3
h=√6 cm

2)
Pb= 252 cm²
h=7cm
ściany boczne tworzy 6 trójkątów równoramiennych
z tego wynika, że jeden taki trójkąt ma pole: 252cm²/6=42 cm²

jesli pole takiego trójąta wynosi 42cm², to podstawę wyliczymy:
P=1/2*h*a
42=1/2*7*a
a=3 cm
podstawa ostrosłupa:
jest to suma 6 trójkatów równobocznych
a=3cm
P jednego trójkąta = √3/4*a^2
P=9√3/4
aby obliczyć pow. całej podstawy wystarczy pole trójkąta pomnożyc przez 6:
Ppod.= 9√3/4*6
Ppod.=13,5√3 cm²
Pole całkowite:
Ppod. + Pb=13,5√3 cm² + 252cm²





2010-04-07T17:04:21+02:00
1. Długość boku tego czworościanu oznaczymy jako a a wysokość jako litere H.
a=3cm,H=?
musimy obliczyć wysokość podstawy ze wzoru (a√3):2 czyli 3√3:2
teraz musimy wziąć 2/3 tej wysokości i podstawić dane do
twierdzenia pitagorasa. Wyniknie wtedy że:
(2/3h)²+H²=3²
Podstawiamy:
(2/3*(3√3:2))² + H²=9
(√3)² + H²=9
3 + H²=9
H²=9-3
H²=6 /√
H=√6

2. Pb=252cm²
Aby obliczyć pole jednej ściany trzeba podzielić to przez 6 a więc:
252cm² : 6 =42cm² <-----pole jednej ściany.
Z jednej strony wiemy że pole jednej ściany wynosi 42 cm² a z drugiej
że obliczamy to ze wzoru (a*h):2
musimy więc przyrównać je :
(a*h):2 = 42 cm² /*2
(a*h)=84cm²

Wiemy że Wysokoś ćć wynosi 7 cm więc:
7a=84cm2 /:7
a=12cm

Teraz wystarczy obliczyć pole podstawy ze wzoru na pole sześcianu: (3a²√3):4 więc: (3*12²√3):4=(3*144√3):4 = 432√3:4 = 108√3cm²

Jeżeli dodamy pole podstawy i pole boczne to otrzymamy pole całkowite więc:
Pc=(252+108√3)cm²

3. Wymiary pierwotne:
(230*230*146)m/3=7723400/3 m³
Wymiary obecne:
(237*237*137)m/3=7695153/3 m³
Teraz wystarczy tylko odjąć te liczby od siebie:
7723400/3 - 7695153/3=28247/3 m³
6 2 6