Jest to zadanie które już wcześniej zamieściłam, aczkolwiek tym razem chodzi mi o rozwiązanie i OBLICZENIA
Pan Jan jest starszy od pani Małgosi. Jeśli przestawimy cyfry liczby wyrażającej wiek pana Jana, to otrzymamy wiek pani Małgosi. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma pan Jan, a ile pani Małgosia?

2

Odpowiedzi

2009-11-02T22:22:54+01:00
10x+y - wiek pana Jana
10y+x- wiek pani Małgosi
x>y
(10x+y )²-(10y+x)²=a²
(10x+y+10y+x)(10x+y-10y-x)=a²
(11x+11y)(9x-9y)=a²
11(x+y)*9(x-y)=a²

aby po prawej stronie był kwadrat jakiejś liczby to
x+y=11 i x-y=1 i x>y czyli x=6 y=5

czyli 65 lat- pan Jan i 56 lat- pani Małgosia
1 5 1
  • Użytkownik Zadane
2009-11-02T22:40:42+01:00
10x + y - wiek pana Jana
Wiek Małgosi jest równy przestawionemu wiekowi pana Jana więc mamy że jest on równy 10y + x
Pan Jan jest starszy od Małgosi więc x > y

Różnica kwadratów liczb wyrażających ich wiek to liczba postaci
(10x + y )² - (10y + x)²=
100x²+20xy+y²-(100y²+20xy+x²)=
100x²+20xy+y²-100y²-20xy-x²=
100x²-100y²+y²-x²=
99x²-99y²=
99*(x²-y²)
Liczba ta jest kwadratem liczby całkowitej oraz pamiętamy że x oraz y są cyframi czyli są równe 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 lub 9.
Żeby liczba 99*(x²-y²) była kwadratem liczby całkowitej mamy że x²-y²=11, jest to najbliższa liczba bo 99*11=1089, a √(1089)=33, zatem mamy, że x²-y²=11 więc x²=11+y², zatem pierwiastkując x=√(11+y²)
Sprawdzamy
Jeśli y=0 to x=√11 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=1 to x=√12 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=2 to x=√15 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=3 to x=√20 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=4 to x=√27 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=5 to x=√36=6 zatem mamy rozwiązanie
Jeśli y=6 to x=√47 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=7 to x=√60 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=8 to x=√75 (odpada bo x nie jest cyfrą)
Jeśli y=9 to x=√92 (odpada bo x nie jest cyfrą)

Zatem rozwiązaniem jest para y=5 i x=6 zatem pan Jan ma 65 lat a Małgosia 56 lat :)