Punkty A(O,O), B(7,1), C(-1,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wyznacz równanie prostej zwierającej środkową tego trójkąta wychodzącą z wierzchołka A oraz równanie prostej zwierającej wychodzącą z wierzchołka B. Uzasadnij, że te proste nie są prostopadłe. Prosze o cale rozwiazanie , dziekuje z gory :) )

2

Odpowiedzi

2010-04-09T19:24:06+02:00
Po narysowaniu trójkąta w układzie współrzędnych i oznaczeniu wierzchołków wyznaczamy punkt który jest środkiem boku CB
Nazwijmy go D, współrzędne tego punktu do D=[(-1+7)/2,(5+1)/2]
czyli D(3,3). Teraz możemy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej wychodzącej od wierzchołku A i zawierającej środkową tego trójkąta
A(0,0) D(3,3) y=ax+b
b=0
3=3a+b ==> 3=3a ==> a=1
równanie prostej to y=x

Teraz wyznaczamy punkt który jest środkiem boku AC. Nazwijmy go E, współrzędne tego punktu to E=[(-1+0)/2,(5-0)/2] czyli E(-½,2½). Teraz możemy wyznaczyć równanie prostej wychodzącej z wierzchołka B i zawierającej środkową tego trójkąta.
B(7,1) E(-½,2½) y=ax+b
1=7a+b
2½=-½a+b

1=7a+b
-2½=½a-b
-----------
-1½=7½a//*2
-3=15a
a=-3/15==> a=-⅕
b=1-7a ==> b=1-7*-⅕ ==> b=1+7/5=12/5
y=-⅕x+12/5
Udowodnienie że te dwie proste nie sa prostopadłe
Zacznijmy od wyznaczenia punktu przecięcia sie prostych
-⅕x+12/5 = x//*5
-x+12=5x
6x=12
x=2
y=2
S(2,2)
|SA|=√[(2+0)²+(2+0)²]
|SA|=√[2²+2²]
|SA|=√8=2√2
|SB|=√[(7-2)²+(1-2)²]
|SB|=√[6²+(-1)²]
|SB|=√[36+1]=√37
|AB|=√[(7+0)²+(1-0)²]
|AB|=√[7²+1²]
|AB|=√[49+1]=√50
Zauważmy że jeżeli te dwie proste miałyby być prostopadłe to trójkąt ABS byłby prostokątny a wiec sprawdzimy to z twierdzenia Pitagorasa:
|AS|²+|SB|²=|AB|²
√8²+√37²=√50²
8+37=50
45=50
L≠P
Te dwie proste nie przecinają się prostopadle (czyli pod kątem prostym) ponieważ trójkąt ABS nie jest trójkątem prostokątnym
4 4 4
2010-04-09T19:32:32+02:00
Punkty A(O,O), B(7,1), C(-1,5) są wierzchołkami trójkąta ABC. Wyznacz równanie prostej zwierającej środkową tego trójkąta wychodzącą z wierzchołka A oraz rownanie prostej zawierajacej srodkowa wychodzaca z wierzcholka B. Uzasadnij, że te proste nie są prostopadłe. Prosze o cale rozwiazanie , dziekuje z gory :) )

Potrzebne informacje.
srodek odcinka: xs=(x1+x2)/2 ys=(y1+y2)/2
rown.peku prostych: y-y0=m(x-xo)
iloczyn skalarny a•b=|a||b| cosα= x1*x2+y1*y2
wsp kier wekt m=(y2-y1)/(x2-x1)


Patrz zalacznik
A(O,O), B(7,1), C(-1,5)

xK=(xB+xC)/2=(7-1)/2=3
yK=(yB+yC)/2=(1+5)/2=3
K(3,3)
mAK=(yK-yA)/(xK-xA)=3/3=1

prosta AK y-y0=m(x-xo)
y-0=1(x-0)
y=x

xL=(xA+xC)/2=(-1)/2=-0,5
yL=(yA+yC)/2=(+5)/2=2,5
L(-0,5 ; 2,5)
mBL=(yL-yB)/(xL-xB)=(2,5-1)/(-0,5-7)=1,5/(-7,5)=-1/5

prosta BL y-y0=m(x-xo) przez B
y-1=-1/5(x-7)
y=-1/5x+7/5+1
y=-1/5x+2,4

korzystam mBL i mAK
wektor AK=[3,3]
wektor BL=[-7,5; 1,5]
AK•BL=3*(-7,5)+3*1,5=3*(-6)=-18
18≠0 tzn ze kat nie jest 90°
Cbdu

ew. mozna skorzytac ze wzoru na war. prostopadlosci

mAK=-1/mBL

nie jest rowne tzn ze kat nie jest prosty

pozdrawiam

Hans











3 2 3