1. Z kuli o promieniu 5 cm odcięto czaszę w odległości 3 cm od środka kuli. Oblicz pole powierzchni otrzymanego przekroju.

2.Półkole o obwodzie równym 3π+6 obraca się wokół średnicy. Jaki obwód ma koło wielkie otrzymanej kuli.

3. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły powstałej w wyniku obrotu:
a) trójkąta równoramiennego o podstawie długości 10cm i ramieniu długości 13cm wokół podstawy,
b) kwadratu o boku długości 2cm wokół przekątnej,
c) rombu o przekątnych 6cm i 8cm wokół krótszej przekątnej.

4. Kula o promieniu długości 3 cm i stożek o promieniu podstawy długości 4cm mają równe objętości. Oblicz wysokość stożka.




Za 1 zadanie 10 pkt ! Co łącznie daje 40 pkt !!!

Z góry dzięki za odpowiedzi. :)

2

Odpowiedzi

2010-04-09T19:46:41+02:00
1.
To jest tak samo (narysuj sobie w przekroju!) jak gdyby w KOLE o promieniu 5cm odcięto CIĘCIWA odległą od środka o 3 cm odcinek tego koła. Długość tej cięciwy to przecież odpowiednik średnicy tego koła, otrzymanego na przekroju kuli..
A więc zadanie mamy sprowadzone na płaszczyznę przekroju osiowego w stosunku do omawianych brył (kuli i czaszy).

Zaznacz sobie na rysunku promienie, biegnące ze środka koła do końców cięciwy.

Dorysuj wysokość otrzymanego trójkąta, wychodzącą ze środka okręgu. Jej długość to odległość cięciwy od środka, czyli 3.

Promienie mają po 5.

Trójkąt prostokątny widzisz? Tw. Pitagorasa pamiętasz jeszcze - obliczysz połówkę tej cięciwy czyli - w kuli - promień przekroju określonego w zadaniu.

No a jak masz promień, to pole przekroju obliczysz, prawda?

2.
obwód półkola =3π+6
wzur na obwod koła obw=2πr
(3π+6)*2=2πr
6π+12=2πr /2
3π+6=πr /π
3+6/π=r
r=3+6/π

obwud koła=2πr
obw=2π*(3+6/π)
obw=(2π*3)+(2π*6/π)
obw=6π+12
obw=6(π+2)

odp. obwód tego koła wynosi 6(π+2)


3.
a) narysuj trójkąt równoramienny i obróc go o podstawe. figura jaka ci wyjdzie zapewne będzie to drugi trójkąt oblicz jego V I Pc.
b)

Przekątna kwadratu to 'a pierwiastka z 2'.
Średnica= 2 pierwiastki z 2, a promień= pierwiastek z 2

4.
Objętość kuli
(4/3)*Pi*R^3=113.0973355

Objętość stożka
(1/3)*Pi*R^2*h=113.0973355

Stąd
h=113.0973355/((1/3)*Pi*R^2)
h=27/4=6.75
2 1 2
Najlepsza Odpowiedź!
2010-04-09T19:50:25+02:00
1.
r - promień kuli
r = 5 cm
r1 - promień przekroju ( koła)
a - odległość przekroju od środka kuli
a = 3 cm
(r1)² + a² = r²
(r1)² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
r1 = √16 = 4
r1 = 4 cm
P - pole przekroju
P = π (r1)² = π ( 4 cm)² =16 π cm².
Odp. Pole tego przekroju kuli jest równe 16 π cm².

2. 3π+6 *2
6π+12

3.a) w pierwszym przypadku do obliczenia objętości potrzebna nam jest wysokość trójkąta którą obliczymy z twierdzenia pitagorasa:
13²-5²=h²
169-25=h²
h=√144
h=12
H stożka to Połowa podstawy trójkąta.
Jeżeli obracamy trójkąt wokół podstawy to powstaje nam figura składająca się z 2 identycznych stożków których promieniem podstawy jest wysokość trójkąta a Tworzącą ramię trójkąta.
objętość stożka:
V=⅓πr²H x2 (i razy 2 bo są 2 takie same stożki
Pole powierzchni:
Pp=πrl x2 Zatem:
V=⅓π12²×5 x2
V=480πcm³
Pp=π12x13 x2
Pp=312πcm²
b)
podobna sytuacja tyle że tworzą się 2 stożki których promieniem jest połowa przekątnej kwadratu, wysokością również połowa przekątnej, a tworzącą (l)jeden z boków. Przekątną obliczamy z twierdzenia pitagorasa:
2²+2²=c²
c=√8
c=2√2
c=2r r=√2 H=√2
Zatem :
V=⅓πr²H x2
V=⁴/₃√2π cm³
Pp=π√2x2 x2
Pp=4√2πcm²
c)
r=3
H stożków jest równe 1/2 długości dłuższej przekątnej czyli 4.
Najpierw obliczmy bok rombu z T.pitagorasa czyli:
3²+4²=c² (suma połów 2 przekątnych podniesionych do kwadratu)
c=5 Zatem:
V=⅓πr²H x2 ( nasze r to połowa krótszej przekątnej czyli 3)
V=24π cm³
Pp=π3×5 x2
Pp=30πcm²

4.Wzór na objętość kuli:
V = 4/3 * Pi * r^3

Wzór na objętość stożka:
V = 1/3 * Pi * r^2 * H



4/3 * Pi * r^3 = 1/3 * Pi * r^2 * H /: Pi
4/3 * r^3 = 1/3 * r^2 * H
4/3 * 3^3 = 1/3 * 4^2 * H
4/3 * 27 = 1/3 * 16 * H
36 = 16/3 * H /: 16/3
H = 6,75

Wysokość stożka jest równa 6,75 cm.
2 5 2