1.Dane są wierzchołki trójkąta A=(3,2), B=(6,y), C=(6,2). Wyznacz współrzędne punktu B równania prostych zawierających boki trójkąta ABC , jeśli wiadomo, że sin kątaABC= 3/5.
2.Wykaz, że jeśli odcięte punktów A,B,C należących do prostej do równaniu y=3x-1 tworza ciąg arytmetyczny, to ich rzędne również tworzą ciąg arytmetyczny.

Proszę o dokładne rozwiązanie zadań...

1

Odpowiedzi

2010-04-10T17:39:48+02:00
1.
|AB|=3
|BC|=|2-y|
kąt ABC = 90⁰ (|AB| jest prostopadła do |BC| (możesz sobie udowodnić liczac równania prostych zawierających boki |AB| i |BC|)
kąt ABC ma marę α
z jedynki trygonometrycznej:
(3/5)²+cos²α=1
cosα=4/5 v cosα=-4/5 (ale to odrzucamy, bo α<90⁰)
tgα=3/5*5/4=3/4
tgα=|AB|/|BC|=3/|2-y|=3/4
|2-y|=4
2-y=4 v 2-y=-4
y=-2 v y=6
B=(6,-2) lub B=(6,6)

2.
A=(x₁; 3x₁-1)
B=(x₂;3x₂-1)
C=(x₃;3x₃-1)

Odciete, to pierwsze współrzędne punktów w układzie współrzędnych, więc
x₂=x₁+r;
x₃=x₂+r=x₁+2r;
rzędne drugie współrzędne, więc
3x₂-1=3(x₁+r)-1=3x₁+3r-1
3x₃-1=3(x₁+2r)-1=3x₁+6r-1
sprawdźmy, czy (3x₁-1,3x₁+3r-1,3x₁+6r-1) tworzą ciąg arytmetyczny
2*(3x₁+3r-1)=?3x₁-1+3x₁+6r-1
P=3x₁-1+3x₁+6r-1=6x₁+6r-2=2*(3x₁+3r-1)=P
rzędne tworzą ciąg arytmetyczny
ps. udowodnić to jeszcze można na podstawie definicji ciągu arytmetycznego, ale tak chyba jest łatwiej
1 4 1