Odpowiedzi

2010-04-10T21:39:50+02:00
Rozłóż wielomian W(x) = x^5 - 3x^4 - x^3 + 3x^2 - 6x + 18 na czynniki i znajdź jego pierwiastki.

W(x)=x^4(x-3)-x^2(x-3)-6(x-3)=(x^4-x^2-6)(x-3)

x^2=t
t^2-t-6=0
delta=1^2-4*1*(-6)=1+24=25
pierwiastek(delta)=5
t1=(1+5)/2=3
t2=(1-5)/2=-2 nie spełnia warynków zadania t>0

x^2=t
x^2=3
x=-pierwiastek(3) lub x=pierwiastek(3)
lub x-3=0 zatem x=-3

2010-04-10T21:39:50+02:00
W(x) = x^5 - 3x^4 - x^3 + 3x^2 - 6x + 18
przez grupowanie i wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias:
W(x) = x⁵ - 3x⁴- x³ + 3x² - 6x + 18=x³(x²-1)-3x²(x²-1)-6(x-3)=
=(x³-3x²)(x²-1)-6(x-3)=x²(x-3)(x²-1)-6(x-3)=(x²(x²-1)-6)(x-3)=

(x²(x²-1)-6)
x⁴-x²-6
podstawiam: x²=k
k²-k-6
Δ=b²-4ac=1+24=25
k₁=(1+5)/2=3
k₂=(1-5)/2=-2

k²-k-6=(k-3)(k+2)=(x²-3)(x²+2)=(x+√3)(x-√3)(x²+2)

wracamy do przykładu:
(x²(x²-1)-6)(x-3)=(x+√3)(x-√3)(x²+2)(x-3)

Pierwiastek wielomanu, to liczba dla której wielomian = 0
czyli:
(x+√3)(x-√3)(x²+2)(x-3)=0
gdy
x+√3=0 lub x-√3=0 lub x²+2=0 lub x-3=0
x=-√3 lub x= √3 lub x=3
x²+2=0
x∈Ф

Odp. Pierwiastkami tego wielomianu są: -√3, √3, oraz 3