Proszę o rzetelne rozwiązanie, a nie przepisane z książki!!!
Zad1
Ułóż własne zadanie na temat ostrosłupów.
Zad 2.
Ułóż własne zadanie, w którym będzie ostrosłup i graniastosłup. Podaje przykład: wiaderko w kształcie ostrosłupa, a akwarium w kształcie graniastosłupa. O ile większa jest objętość akwarium.

To nierealny przykład, bo wiaderko to nie ostrosłup. Oczywiście proszę także o rozwiązanie!

1

Odpowiedzi

2010-04-11T18:01:36+02:00
Zadanie 1
Dany jest ostrosłup o postawie ABCD (kwadrat) i wierzchołku S. Wiedząc, że |<SBD| = |<SAC| = 45° i |<SDB| = |<SCA| = 60° oraz |AB| = a oblicz objętość tego ostrosłupa.

rozwiązanie:
a przekroju w załączniku:
|BD| = a√2
c + d = a√2
c = d√3 => d = c√3/3
c + c√3/3 = a√2
H = c = a√2/(√3/3 + 1) = 3a√2/(√3 + 3) = 3a√2(3 - √3)/6 = a√2(3 - √3)/2

objętość:
V = Pp*H/3 = [a²*a√2(3 - √3)/2]/3 = a³√2(3 - √3)/6

zadanie 2
Mamy dany ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi postawy a i graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi postawy 2a i krawędzi bocznej h. Wiedząc, że ich pola powierzchni całkowitej są równe oblicz objętość ostrosłupa.

rozwiązanie:
pole powierzchni graniastosłupa (postawy są złożone z sześciu trójkątów równobocznych o krawędzi a):
P = 2Pp + Pb = 2 * 6 * a²√3/4 + 6ah = a²*3√3 + 6ah

pole powierzchni ostrosłupa:
H - wysokość ostrosłupa
b - wysokość ściany bocznej
z tw. Pitagorasa (zielony trójkąt):
(2a√3/2 * 1/3)² + (H/3)² = b²
b² = a²/3 + H²/9
b = √(a²/3 + H²/9)
P = Pp + Pb = 4a²√3/4 + 3a√(a²/3 + H²/9) = a²√3 + 3a√(a²/3 + H²/9)

przyrównujemy pola, aby wyliczyć H:
a²√3 + 3a√(a²/3 + H²/9) = a²*3√3 + 6ah
3a√(a²/3 + H²/9) = a²*2√3 + 6ah |:a
3√(a²/3 + H²/9) = a*2√3 + 6h
podnosimy obustronnie do kwadratu:
9(a²/3 + H²/9) = 12a² + ah*24√3 + 36h²
3a² + H² = 12a² + ah*24√3 + 36h²
H² = 9a² + ah*24√3 + 36h²
H = √(9a² + ah*24√3 + 36h²)

teraz możemy obliczyć objętość:
V = Pp*H/3 = (2a)²√3/4 * H/3 = a²H√3/3 = a²√3 * √(9a² + ah*24√3 + 36h²)/3 = a²√9 * √(3a² + ah*8√3 + 12h²)/3 = a²√(3a² + ah*8√3 + 12h²)

jak masz pytania to pisz pw