Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość a. Przekątne sąsiednich ścian bocznych poprowadzone z tego samego wierzchołka tworzą kąt prosty. Oblicz pole i objętość tego graniastosłupa.

Pomóżcie prosze, na jutro to mam:*

1

Odpowiedzi

2010-04-11T21:06:11+02:00
Z podanych informacji wiemy, że trójkąt ABC jest prostokątny. Jest on też równoramienny, więc jest to dokładnie połówka kwadratu. Zatem
√ -- BC = AC 2.

Z drugiej strony, jeżeli połączymy przeciwległe wierzchołki sześciokąta w górnej podstawie, to mamy sześć trójkątów równobocznych i widać, że odcinek BC jest dwa razy dłuższy od wysokości każdego z tych trójkątów równobocznych, czyli
√ -- BC = a 3.

Mamy zatem
-- -- √ -- a√ 3 = BC = AC √ 2 ⇒ AC = a√-3-. 2

Teraz z trójkąta prostokątnego CEA wyliczamy wysokość graniastosłupa.
∘ --------- √ -- ∘ ------------ 3a2 a 2 H = EC = AC 2 − EA 2 = ----− a2 = ----. 2 2

Możemy teraz policzyć objętość (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).
√ -- √ -- √ -- √ -- a2 3 3a 2 3 a 2 3a3 6 V = 6 ⋅------⋅H = -------⋅ -----= ------. 4 2 2 4


Odpowiedź: - 3a3√6 3 4 cm