1.Podstawą graniastosłupa prostego jest romb , w którym kąt ostry ma miarę 30 stopni, a wysokość ma długość 30 cm . oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa wiedząc że wysokość graniastosłupa stanowi 60% długości krawędzi podstawy

2.W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni, a długość przekątnej wynosi 48 cm. Oblicz pole powierzchni i objętość tego graniastosłupa

1

Odpowiedzi

2010-04-12T16:29:08+02:00
1. Skoro wysokość rombu ma długość 30cm korzystamy z funkcji trygonometrycznej, żeby obliczyć bok rombu - a

czyli cos 30 stopni = 30 / a
z tabeli cos 30 = √3/2
√3/2 = 30 /a
a √3 = 2 *30
a = 60/√3 = 60√3/3 = 20√3

Liczymy wysokość (H), czyli 60% a
H = 60% * 20√3 = 12 √3

Wzór na objętość V=Pp*H
Pp (rombu) = a*h
Pp = 20√3 * 30 = 600√3 cm²
V = 600√3 * 12 √3 = 21 600 cm³

Wzór na pole całkowite graniastosłupa Pc = 2 Pp + Pb
Pb to prostokąt o wymiarach 20 √3 x 12 √3
Pb = 20√3 * 12√3 = 720
Pc = 2 * 600 √3 + 720 = 1200√3 + 720

Trochę duże liczby, ale chyba dobrze.

Odp. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 1200√3 + 720cm², a objętość 21 600 cm³.


2. Liczymy długość krawędzi (b) z własności kątów 45° w kwadracie
48 = b√2
b = (48√2)/2 = 24√2
Długość b to równocześnie krawędź (i wysokość graniastosłupa) oraz długość przekątnej podstawy.

Teraz liczymy krawędź podstawy (a) z tych samych własności
24√2 = a√2
a = 24

W podstawie jest kwadrat o wymiarach 24 x 24
Liczymy pole podstawy Pp = 24² = 576 cm²

Wzór na objętość graniastosłupa to V = Pp*H
V = 576 * 24√2 = 13 824√2 cm³

Wzór na pole powierzchni całkowitej Pc = 2Pp + Pb
Pole boczne to prostokąt o wymiarach 24√2 x 24, więc
Pb=24√2*24 = 576√2 cm²

Pc= 2*576 + 576√2 = 1152 + 576√2 cm²

Odp. Pole powierzchni wynosi 1152 + 576√2 cm², a objętość
13 824√2 cm³.

Nie wiem czy dobrze, bo jakieś dziwne liczby.
1 1 1