1)Prosta "k" ma postać: 2x-3y+6=0.
Podaj równanie prostej równoległej do prostej "k" i przechodzącej przez punkt A=(-2,4).

2)Wyznacz równanie symetralnej odcinka AB, jeżeli A=(-4,-6), B=(2,-4).

3)Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A=(1,1), B=(2,6), C=(-4,2) jest trójkątem prostokątnym.

1

Odpowiedzi

2010-04-12T20:31:58+02:00
1.
2x-3y₁+6=0
-3y₁=-2x-6
y₁=2/3x+2 postać kierunkowa (y=ax+b)
a₁=2/3
warunek równoległości prostych:
a₁=a₂
y₂=2/3x₂+ b - to jest prosta równoległa
wyliczamy b
b=y₂- 2/3x₂ a za x₂i y₂ podstawiamy współrzędne punktuA=(-2,4)
b=4+ 4/3
b=16/3
zatem prosta równoległa do 2x-3y₁+6=0 to y₂=2/3x₂+ 16/3

2. szukamy prostej AB:
(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1) wzór na prostą przechodzaca przez 2 pkty
(-4-2)(y+6)=(-4+6)(x+4)
2x+6y+44=0
ze wzoru na środek odcinka AB, wyznaczamy ten środek S
S=(-1,-5)
Symetralna dzieli odcinek AB na 2 równe części pod kątem prostym. Zatem nasza symetralna jest prostą prostopadła do AB przechodzaca przez pkt S
2x+6y+44=0 warunek prostopadlosci prostych: a1×a2=-1
6x-2y+C=0
C=-6x+2y za x i y podstawiamy wspolrzedne punktu S
C=6-10=-4

Symetralna ma wzor 6x-2y-4=0

3.Trojkat prostokatny jest oparty na srednicy okregu. Srednica okregu jest najdluzszy bok czyli przeciwprostokatna trojkata czyli |BC|. Opisujemy koło o promieniu r=|BC|/2 (Wyliczamy najpierw |BC| ze wzoru na odleglosc dwoch punktow od siebie) i o srodku w punkcie S (srodek odcinka AB). Jesli punkt A bedzie (a bedzie bo mamy to uzasadnic) nalezal do okregu, wowczas jest to trojkat prostokatny.