Odpowiedzi

2010-04-13T17:38:53+02:00
Zadanie 1.5
a) NIE nie jest wzajemnie jednoznaczne, możliwe są P' z okręgu o środku A i promieniu AP
b) TAK jest jednoznaczne, P' leży po przeciwnej stronie A w równej odległości od A jak P
c) TAK jednoznaczne P' = A, ale nie ma całej płaszczyzny w wyniku tylko jeden punkt
d) NIE nie jest wzajemnie jednoznaczne, możliwe są P' należące koła o promieniu 4 - AP
e) TAK jest jednoznaczne, P' leży po tej samej stronie A ca P w trzykrotnie większej odległości od A jak P
f) TAK jednoznaczne P' = P
g, h) TAK jednoznaczne, zwykłe przesunięcia


zadanie 1.7
a)
źródło: http://sisi.ovh.org/index/matma/niezbednik/przeksztalcenia/przeksztalcenia.html
"Przekształcenie geometryczne P : X -> Y nazywamy przekształceniem wzajemnie jednoznacznym (bijekcją) zbioru X na zbiór Y, gdy jest typu na i różnowartościowe."

przyjmiemy oznaczenia:
f: P = (x, y) -> P' = (x', y')

różnowartościowość
Czyli musimy pokazać, że nie ma takich dwóch punktów układu współrzędnych, które tak zadane przekształcenie przekształcało by na ten sam punkt. Wystarczy wskazać, że dla każdego P' możemy jednoznacznie wskazać P. Mamy dwa przypadki:

|AP'| < r
tutaj sprawa jest oczywista, ponieważ wtedy na pewno wiemy, że |AP| < r, ponieważ zawsze |AP| ≤ |AP'|, czyli P = P'

|AP'| ≥ r
ponieważ dla |AP| < r zawsze |AP'| < r to |AP| ≥ r, stąd mamy, że |AP'| = 2|AP| i ich kierunki i zwroty się zgadzają (jak to w przepadku wektorów, więc dla P' = (x, y) mamy P = (x/2, y/2)

"na"
Czyli musimy pokazać, że po przekształceniu uzyskamy całą płaszczyznę, czyli dla każdego punktu musimy wskazać punkt który został na niego przekształcony, ale to już samo wyszło w poprzednim punkcie.

b)
koło = koło bez okręgu + okrąg
koło bez okręgu przejdzie na koło bez okręgu, sam okrąg na okrąg o dwa razy większej średnicy (załącznik)

c)
źródło: http://sisi.ovh.org/index/matma/niezbednik/przeksztalcenia/przeksztalcenia.html
"Punkt A nazywamy punktem stałym przekształcenia P : X -> X, gdy spełnia warunek: P(A) = A"

jak jasno wynika z definicji przekształcenia są to wszystkie punkty leżące wewnątrz koła, ale nie należące do okręgu


zadanie 1.8
P' = T(P), P = (x, y)

a)
P' = (x - 1, y - 2)
T(x, y) = (x - 1, y - 2)
x = x - 1 i y = y - 2
równania sprzeczne, brak punktów stałych

b)
P' = (3x - 2, 2y - 1)
T(x, y) = (3x - 2, 2y - 1)
x = 3x - 2 i y = 2y - 1
x = 1, y = 1

c)
P' = (2x + 1, 3y + 2)
T(x, y) = (2x + 1, 3y + 2)
x = 2x + 1 i y = 3y + 2
x = - 1, y = - 1

d)
P' = (- x + 2, - y + 4)
T(x, y) = (- x + 2, - y + 4)
x = - x + 2 i y = - y + 4
x = 1, y = 2

e)
P' = (x/2 - 1, y/3 - 1)
T(x, y) = (x/2 - 1, y/3 - 1)
x = x/2 - 1 i y = y/3 - 1
x = - 2, y = - 3/2

f)
P' = (- 3x + 4, - y + 2)
T(x, y) = (- 3x + 4, - y + 2)
x = - 3x + 4 i y = - y + 2
x = 1, y = 1


zadanie 1.9
x' = 3x + 2y - 5
y' = 3x - 4y + 2
T(x, y) = (3x + 2y - 5, 3x - 4y + 2)

a)
T(A) = T(0, 0) = (- 5, 2)
T(B) = T(5, 2) = (15 + 4 - 5, 15 - 8 + 2) = (14, 9)
T(C) = (- 1, 4) = (- 3 + 8 - 5, - 3 - 16 + 2) = (0, - 17)

b)
T(x, y) = (3x + 2y - 5, 3x - 4y + 2)
mamy układ równań:
x = 3x + 2y - 5
y = 3x - 4y + 2

0 = 2x + 2y - 5 |*(- 3/2)
0 = 3x - 5y + 2

po dodaniu stronami:
0 = - 8y + 15/2 + 2
16y = 19
y = 19/16
x = 5 - y = 61/16

c)
jeżeli chodzi o złożenie to:
T ⁰ T (x, y) = T(T(x, y)) = T(3x + 2y - 5, 3x - 4y + 2) = (3(3x + 2y - 5) + 2(3x - 4y + 2) - 5, 3(3x + 2y - 5) - 4(3x - 4y + 2) + 2) = (15x - 2y - 16, - 3x - 10y - 25)

d)
T⁻¹
wyliczamy z układu x' i y', traktując x i y jako parametry:
x = 3x' + 2y' - 5
y = 3x' - 4y' + 2

odejmujemy stronami równania:
x - y = 6y' - 7
y' = x/6 - y/6 + 7/6

pierwsze równanie razy dwa i dodajemy stronami:
2x + y = 9x' - 8
x' = 2x/9 + y/9 + 8/9

T⁻¹(x, y) = (2x/9 + y/9 + 8/9, x/6 - y/6 + 7/6)

jak masz pytania to pisz na pw