1.Oblicz pole całkowite i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 6 cm.
2.Oblicz pole boczne i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wiedząc że pole podstawy= 64 cm², a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 30 stopni.

2

Odpowiedzi

2010-04-13T20:34:02+02:00
Zadanie 1

Pp=4²
Pp=16cm²

Pb=4×1/2×a×h
Pb=4×1/2×4×6
Pb=48cm²

Pc=Pp+Pb
Pc=16cm²+48cm²= 64cm²

V=1/3×Pp×H
V=1/3×16×6
V=32cm³

2010-04-13T20:38:43+02:00
1.
objętość łatwo policzyć, ponieważ mamy potrzebne wszystkie dane, więc:
V=1/3 * pole podstawy (kwadrat)*wysokość = 1/3 * a²*h= 1/3 * 4² * 6 = 1/3 * 16 * 6 = 32 cm³
do obliczenia pola powierzchni całkowitej potrzebujemy wysokości boku tego ostrosłupa. Najpierw jednak należy wyznaczyć krawędź boczną
Wyznacza się ją z trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są połowa przekątnej podstawy oraz wysokość ostrosłupa, a przeciwprostokątną właśnie krawędź boczna
przekątna podstawy = a* √2 = 4*√2
połowa tej przekątnej nam potrzebna, czyli 1/2 * 4√2 = 2√2
Teraz z pitagorasa - podstawiamy:
(2√2)² + 6² = krawędź²
4*2 + 36 = krawędź²
8+36 = krawędź²
44=krawędź²
√44=krawędź
2√11=krawędź

Z kolejnego trójkąta (bocznego) wyznaczamy wysokość ściany bocznej. Trójkąt ten ma przyprostokątne długości połowy boku podstawy i wysokości ściany bocznej (H) , a przeciwprostokątną jest krawędź boczna
połowa boku podstawy² + H² = krawędź²
2² + H² = (2√11) ²
4 + H² = 44
H² = 40
H=√40 = 2√10

Pole jednego boku ostrosłupa to pole trójkąta o podstawie 4 cm i wysokości H= 2√10
P=1/2*4*2√10 = 4√10
Takich boków jest 4 więc pole boczne = 4*P=4*4√10 = 16√10
Pole podstawy = a² = 4²= 16
Pole cakowite ' pole boczne * pole podstawy = 16√10 + 16 = 16 ( 1+ √10)

2. Skoro pole podstawy = 64, a w podstawie jest kwadrat, to bok kwadratu = 8 cm.
Kąt nachylenia ściany bocznej do powierzchni podstawy to kąt który tworzy wysokość ściany bocznej z wysokością podstawy. Mamy zatem tam trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątnymi są połowa boku podstawy , wysokość ostrosłupa H i przeciwprostokątną będącą długością wysokości ściany bocznej
z tego trójkąta sin30 = H/1/2a = H/4
1/2 = H/4
H=2 cm (wysokość ostrosłupa)

teraz z pitagorasa H²+(1/2a)²=h²
2²+4²=h²
4+16=h²
20=h²
2√5=h(wysokość ściany bocznej)
Pole boczne = 4 * pole trójkąta o podstawie 8 cm i wysokości 2√5 = 4*1/2 * 8 * 2√5 = 32√5 cm²
pole całkowite = pole podstawy + pole boczne = 64 + 32√5 = 32(2+√5) cm²

objętość V=1/3*pole podstawy * H = 1/3 * 64 * 2 = 1/3 * 128 = 128/3 cm³