A więc trzy zadanka.
Zadanie 1:
Ania, przygotowując się do egzaminu, musi przeczytać książkę liczącą 614 stron. Zaplanowała, że przez pierwsze 5 dni będzie czytać po 14 stron dziennie, a szóstego dnia przeczyta o 2 strony więcej niż piątego i każdego następnego dnia przeczyta o 2 strony więcej niż poprzedniego. W ciągu ilu dni przeczyta całą książkę?

Zadanie 2:
Dwa wielokąty mają razem 18 kątów i 58 przekątnych. Oblicz liczbę kątów w każdym wielkokącie.

Zadanie 3:
Dane są punkty A=(8,-1) i B=(10,11) oraz prosta l o równaniu x - y + 3 = 0.
a) Wyznacz współrzędne punktu C, który leży na prostej l i jest jednakowo odległy od punktów A i B.
b) Wykaż, że trójkąt ABC jest prostokątny.
c) Oblicz obwód trójkąta ABC.

3

Odpowiedzi

2010-04-15T14:27:23+02:00
X=ilość dni po tych pięciu
614-5*15=614-75=539
539=5x+2x
539=7x//:7
77=x
77+5=83

to nie możliwe gdyż
(pierwsze cyfry to liczba kątów, drugie ilość przekątnych)
3+15=18
4+14=9
5+13=18
6+12=9
7+11=18
8+10=9
9+9=18

reszta jutro bo mam ważne zebranie
2010-04-15T15:17:38+02:00
Zadanie 1:
Ania, przygotowując się do egzaminu, musi przeczytać książkę liczącą 614 stron. Zaplanowała, że przez pierwsze 5 dni będzie czytać po 14 stron dziennie, a szóstego dnia przeczyta o 2 strony więcej niż piątego i każdego następnego dnia przeczyta o 2 strony więcej niż poprzedniego. W ciągu ilu dni przeczyta całą książkę?

przez 5 dni przeczyta w sumie 5*14=70 stron
szóstego dnia przeczyta 16 stron
siódmego 18

do przeczytania pozostaje jej 614-70=544 strony

musimy sprawdzić ile dni przeczyta książkę, a więc mamy ciąg arytmetyczny

wyrazy to 16,18,20,22,...=544
wzór na sumę ciągu arytmetycznego to
Sn=((a1+an)/2)*n
wiemy że Sn = 544
a1=16
a więc musimy dobrać odpowiednio wartości an i n

z łatwością dodając otrzymamy iż
544=16+18+20+...+48
a wiec an = 48, a n= 17

gdy już mamy n=17 dni to dodajemy dodatkowe pięc które obliczyliśmy wcześniej i otrzymamy 22 dni

Zadanie 2:
Dwa wielokąty mają razem 18 kątów i 58 przekątnych. Oblicz liczbę kątów w każdym wielkokącie.

p=(n(n-3))/2
to dla 18 kątów maksymalnie jest (18(18-3))/2=135
a więc teraz dopieramy takie dwa wielokąty aby pasowały rozwiązaniu.

mamy parami
3,15; 4,14; 5,13; 6,12; 7,11; 8,10
czyli 6 par

weźmy sobie 7 kąt i 11 kąt razem tworzą ów 18 kąt

wg wzoru:
p=(7(7-3))/2=14
p=(11(11-3))/2=44
a więc sumując 14 + 44 = 58 czyli tyle ile miało wyjść

2010-04-15T15:28:40+02:00
Zad.1.
Począwszy od piątego dnia (włącznie) będziemy mieć ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz a1=14, różnica ciągu r=2. Suma przeczytanych stron począwszy od piątego dnia to suma ciągu arytmetycznego, którego wzór znamy:
Sn=(a1+an)/2*n
an=a1+(n-1)*r
czyli Sn=[2a1+(n-1)*r]/2*n
i Sn=614-liczba przeczytanych książek w ciągu pierwszych czterech dni, czyli 4*14
zatem Sn=614-56=558
podstawiamy do wzoru i wyliczamy n:
558=[2*14+(n-1)*2]/2*n
558=[28+2n-2]/2*n
(...) po przemnożeniu wszystkiego otrzymamy równanie kwadratowe:
n^2+13n-558=0
liczymy deltę i pierwiastki. Odrzucamy n<0, bo n nie może być liczbą ujemną.
Przyjmujemy drugi pierwiastek n=18.
Pamiętać należy, że to nie jest ostateczna odpowiedź, bo to jest liczba dni w ciągu których przeczytał 558 stron, więc do tego trzeba dodać jeszcze te 4 dni na początku, w ciągu których przeczytał 4*14 stron.
Ostatecznie odpowiedź brzmi:
Książkę przeczytał w 22 dni.

zad.2.
wzór na liczbę przekątanych w n-kącie:
n(n-3)/2
Z każdego wierzchołka wychodzi n-3 przekątnych, wierzchołków jest tyle co kątów czyli n, więc mnożymy (n-3)przez n, a na końcu dzielimy przez 2, żeby się nie dublowały przekątne.

Mamy n-kąta o n(n-3)/2 liczbie przekątnych oraz drugą figurę
(18-n)-kąta. Liczbę przekątnych dla tej drugiej liczymy podstawiając do wzoru
n(n-3)/2 za "n" całe wyrażenie "18-n", w związku z czym mamy dla niego liczbę przekątnych równą: (18-n)(18-n-3)/2=(18-n)(15-n)/2

suma przekąnych wynosi 58, więc rozwiązujemy równanie
n(n-3)/2 + (18-n)(15-n)/2=58
[n(n-3)+(18-n)(15-n)]/2=58 mnożymy obie strony przez 2
[n(n-3)+(18-n)(15-n)]=116
(...)
po wymnożeniu otrzymamy:
n^2-18n+77=0
delta=16, wyliczamy pierwiastki:
n1=7
n2=11

W jednym wielokącie będzie 7 kątów, a w drugim 11 kątów.

zad.3.
Należy wykorzystać wzór na odległość punktów w układzie współrzędnych (załącznik).
odległość |CA|=odległość CB|
ponadto wiemy że punkt C leży na prostej l: x-y+3=0
-y=-x-3
y=x+3

Rozwiązujemy układ równań:

I: pierwiastek z [(8-x)^2+(-1-y)^2] = pierwiastek z [(10-x)^2+(11-y)^2]
II: y=x+3

w pierwszym równaniu po obu stronach pod pierwiastkiem jest suma kwadratów, więc na pewno jest ona liczbą ≥0, zatem możemy spokojnie podnieść obie strony do kwadratu, a pierwiastek podniesiony do kwadratu daje liczbę podpierwiastkową, zatem :
(8-x)^2+(-1-y)^2] = (10-x)^2+(11-y)^2
y=x+3

po pierwszego równania za y wszędzie podstawiamy "x+3" i wyliczamy.
ostateczny wynik to x=3, zatem y=6

C=(3,6)

b) Należy po kolei wyliczyć długości odcinków (z tego wzoru w załączniku) CA, CB i BA. Otrzymamy:
CA=√74
CB=√74
BA=√148
Należy sprawdzić czy (CA)^2+(CB)^2=(BA)^2 Wynika to z Twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa: "Jeżeli w trójkącie kwadrat długośćci jednego boku jest równy sumie kwadratów długości boków pozostałych, to ten trójkąt jest prostokątny".
(√74)^2+(√74)^2=(√148)^2
74+74=148
148=148 zgadza się, więc jest to trójkąt prostokątny

c)Obwód to już prosto, sumujemy długości CA, CB i BA:
√74+√74+√148 = 2√74+√(2*74)=2√74+√2*√74 wyciągamy przed nawias √74 i ostatecznie mamy wynik:
√74(2+√2)