Sprawdź, że punkty A=(2,1),B=(-2,4) i C=(1,0) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC.
a)napisz równanie osi symetrii tego trójkąta
b)Przekształć trójkąt przez symetrię względem początku układu współrzędnych i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków
c)wyznacz wektory zawierające boki trójkąta
d)przesuń trójkąt o wektor [-3;1] i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków

Z góry dzięki;)

1

Odpowiedzi

2009-11-07T16:32:36+01:00
A =(2,1), B=(-2,4) , C =(1,0) - wierzchołki trójkąta

AB^2 -(-2-2)^2 +(4-1)^2 =16+9 = 25 czyli AB = 5
BC ^2 =(1-(-2))^2 + (0-4)^2 = 3^2 + 4^2 = 9+16=25,czyli BC = 5
Jest to trójkąt równoramienny o ramionach AB i BC.
a)
Niech S oznacz środek odcinka AC
S =((2+1)/2,(1+0)/2) = (3/2 ,1/2)
Os symetrii tego trójkąta to prosta BS
y = ax +b - równanie kierunkowe prostej
B=(-2,4)
(1) 4 =-2*a + b
S =(3/2, 1/2)
(2) 0,5 = 1,5*a + b
Rozwiązujemy układ równań (1) (2)
z (1) --> b =4+2a , wstawiamy do (2)
0,5 = 1,5 a + 4 + 2a
3,5 a =0,5 - 4 = -3,5
a = -3,5 : 3,5 = -1
b = 4 + 2*(-1) = 4 -2 = 2
Równanie prostej BS ( oś symetrii ):
y = -x + 2
b)
Otrzymamy trójkąt A'B'C', gdzie
A' =(-2,-1)
B' =(2, -4)
C' =(-1,0)
Korzystamy z tego, że x' = - x oraz y' = -y
c)
wektor AB =[-2-2,4-1] =[-4,3]
wektor CB =[-2-1,4-0] =[-3,4]
wektor CA =[2-1,1-0] =[1,1]
d)
Wektor v =[-3,1] - wektor przesunięcia
A'' =(2-3,1+1) = (-1,2)
B'' =(-2-3,4+1) =(-5,5)
C'' =(1-3,0+1) =(-2,1)
Obrazem trójkąta ABC w przesunięciu o wektor v =[-3,1] jest
trójkąt A''B''C''.