Witam!
Proszę o rozwiązanie do wieczora takowych zadań:

6***. Znajdź taką najmniejszą liczbe naturalną n, aby liczby n+1 oraz n-110 były kwadratami liczb naturalnych.

4. Ustal zbiór rozwiązań:
a) równania (9-6x+x²)(x²-1)=0
b) nierówności (x²+7)(x+2)/x² ≥0

Z góry dziękuję!

1

Odpowiedzi

2009-11-08T19:00:12+01:00
Zad. 6***.

Niech n + 1 = x², n - 110 = y², x>y.

x² - y² = (n+1) - (n - 110) = 111
(x + y) * (x - y) = 111

111 = 3 * 37

Zatem istnieją dwa rozwiązania:
1)
x + y = 37, x - y = 3
2x = 40
x = 20
y = 37 - x = 17

Wtedy n + 1 = x², n = 399


2)
x + y = 111
x - y = 1

2x = 112
x = 56

y = 111 - x = 55

Wtedy n = x² - 1 = 3135

Odp. Najmniejszym n spełniającym warunki zadania jest n = 399.





Zad. 4. Ustal zbiór rozwiązań:

a) równania (9-6x+x²)(x²-1)=0

(9-6x+x²)(x²-1)=0
(3 - x)² * (x + 1) * (x - 1) = 0

Iloczyn czterech liczb wynosi 0, zatem jedna z nich to 0.
3 - x = 0 lub x + 1 = 0 lub x - 1 = 0
x = 3 lub x = -1 lub x = 1

Zbiorem rozwiązań tego równania jest zbiór {-1, 1, 3}


b) nierówności (x²+7)(x+2)/x² ≥0
Dziedzina: x≠ 0

(x²+7)(x+2)/x² ≥0

Ułamek ma być większy lub równy 0, zatem iloczyn licznika i mianownika też musi być większy lub równy 0.

(x²+7) * (x+2) * x² ≥0
Zauważmy, że lewa strona przyjmuje wartość 0 tylko dla x = 0 lub x = -2.
Rysujemy teraz szkic wykresu, którego miejsca zerowe to -2 oraz 0 (zaczynamy rysowanie od góry, w 0 odbijamy, przechodzimy przez -2).

Odczytujemy zbiór rozwiązań:
x∈<-2, 0) suma (0, +∞) (bo 0 nie należy do dziedziny).