Odpowiedzi

2010-01-31T21:48:49+01:00
Wystarczy opuścić wysokość z wierzchołka B, wtedy korzystamy z funkcji trygonometrycznych dla trójkąta prostokątnego:
sinBAC=h/c
oraz
sinACB=h/a

przekształcamy równania, żeby po którejś stronie mieć tylko zmienną 'h' i przyrównujemy ją do siebie
wychodzi c*sinBAC = a*sinACB

przekształcamy równanie i wychodzi:
c/sinACB = a/sinBAC

pozostałe równania robimy analogicznie, opuszczając wysokość z innych wierzchołków :)
2010-01-31T22:29:00+01:00
Zad. 1
a/sin∢BAC = b/sin∢ABC
∢ BAC = α
∢ ABC = β
a/sin α = b/sin β

I sposób
Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta
P = ½ ab*sinγ = ½ bc *sinα = ½ ac* sinβ
½ bc*sinα = ½ ac*sinβ /:(abc)
(½bc*sinα)/(abc) = (½ ac*sinβ)/(abc)
(½sinα)/a = (½sinβ)/b / *2
sinα/a = sinβ/b (bierzemy odwrotności i otrzymujemy)
a/sinα = b/sinβ

II sposób
możemy w trójkącie wyznaczyć wysokość h z wierzchołka wspólnego dla boków AC i BC
sinα = h/b, sinβ = h/a
h = sinα*b h = sinβ*a
sinα*b = sinβ*a /: (sinα*sinβ)
(sinα*b):(sinα*sinβ) = (sinβ*a):(sinα*sinβ)
b/sin β = a/sin α

Zad. 2
a /sin ∢BAC = b/sin ∢ABC = c /sin ∢ACB
∢ BAC = α
∢ ABC = β
∢ ACB = γ

a/ sin α = b/ sin β = c /sin γ

część pierwsza wzoru uzasadniona jest w zadaniu 1,
więc wystarczy uzasadnić
b/ sin β = c/sin γ
I sposób
Wykorzystujemy wzór na pole trójkąta
P = ½ ab*sinγ = ½ bc *sinα = ½ ac* sinβ
½ ab*sinγ= ½ ac*sinβ /:(abc)
(½ab*sinγ)/(abc) = (½ ac*sinβ)/(abc)
(½sinγ)/c = (½sinβ)/b / *2
sinγ/c = sinβ/b (bierzemy odwrotności i otrzymujemy)
c/sinγ = b/sinβ

II sposób
możemy w trójkącie wyznaczyć wysokość h z wierzchołka wspólnego dla boków AC i AB
sinγ = h/b, sinβ = h/c
h = sinγ*b h = sinβ*c
sinγ*b = sinβ*c /: (sinγ*sinβ)
(sinγ*b):(sinγ*sinβ) = (sinβ*c):(sinγ*sinβ)
b/sinβ = c/sinγ